五種輔助線助你證全等
湖北省黃石市下陸中學(xué) 宋毓彬
在證明三角形全等時(shí)有時(shí)需添加輔助線，對學(xué)習(xí)幾何證明不久的學(xué)生而言往往是難點(diǎn)．下面介紹證明全等時(shí)常見的五種輔助線，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考．
?
一、截長補(bǔ)短
?
一般地，當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時(shí)，通?？梢钥紤]用截長補(bǔ)短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等．
?
例1．如圖1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB．求證：AC=AE+CD．
?
?
分析：要證AC=AE+CD，AE、CD不在同一直線上．故在AC上截取AF=AE，則只要證明CF=CD．
?
證明：在AC上截取AF=AE，連接OF．
?
∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°
?
∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．
?
顯然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°
?
在△DOC與△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC
?
∴△DOC≌△FOC， CF=CD
?
∴AC=AF+CF=AE+CD．
?
二、中線倍長
?
三角形問題中涉及中線（中點(diǎn)）時(shí)，將三角形中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形是常用的解題思路．
?
例2．已知三角形的兩邊長分別為7和5，那么第三邊上中線長x的取值范圍是（?? ）．
?
分析：要求第三邊上中線的取值范圍，只有將將中線與兩個(gè)已知邊轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，然后利用三角形的三邊關(guān)系才能進(jìn)行分析和判斷．
?
?
解：如圖2所示，設(shè)AB=7，AC=5，BC上中線AD=x．
?
延長AD至E，使DE = AD=x．
?
∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD
?
∠ADC=∠EDB（對頂角）∴△ADC≌△EDB
?
∴BE=AC=5
?
∵在△ABE中?? AB-BE＜AE＜AB+BE
?
即7-5＜2x＜7+5???? ∴1＜x＜6
?
三、作平行線
?
當(dāng)三角形問題中有相等的角或等腰等條件時(shí)，可通過作平行線將相等的角轉(zhuǎn)換到某一個(gè)三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，從而為證明全等提供條件．
?
例3．如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延長線上截取CE，且使CE=BD．連接DE交BC于F．求證：DF=EF．
?
?
分析：要證DF=EF，必須借助三角形全等．而現(xiàn)有圖形中沒有全等三角形．由等腰三角形條件，可知∠B=∠ACB，作DH∥AE，可得∠DHB=∠ACB．則△DBH為等腰三角形．
?
證明：作DH∥AE交BC于H．
?
∴∠DHB=∠ACB，
?
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB
?
∴∠DHB=∠B，DH=BD
?
∵CE=BD??? ∴DH= CE
?
又DH∥AE，∠HDF=∠E?
?
∠DFH=∠EFC（對頂角）
?
∴△ DFH≌△EFC（AAS）?∴DF=EF
?
四、補(bǔ)全圖形
?
在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段（邊）相交，構(gòu)成一個(gè)封閉的圖形，可找到更多的相等關(guān)系，有助于問題的解決．
?
例4．如圖4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD為∠ABC的平分線．若A點(diǎn)到直線BD的距離AD為a，求BE的長．
?
?
分析：題設(shè)中只有一條已知線段AD，且為直角邊，而要求的BE為斜邊．要找到它們之間的關(guān)系，需設(shè)法構(gòu)造其他的全等三角形．
?
證明：延長AD、BC相交于F．
?
由BD為∠ABC的平分線，BD⊥AF．
?
易證△ADB≌△FDB?? ∴FD= AD=a? AF=2a???? ∠F=∠BAD????
?
又∠BAD+∠ABD=90°，∠F+∠FAC=90°
?
∴∠ABD=∠FAC???
?
∵BD為∠ABC的平分線?∴∠ABD=∠CBE
?
∴∠FAC=∠CBE，而∠ECB=∠ACF=90°，AC=BC
?
∴△ACF≌△BCE（ASA）??? ∴BE=AF=2a
?
五、利用角的平分線對稱構(gòu)造全等
?
角的平分線是角的對稱軸，在證明全等過程中不僅提供了兩個(gè)相等的角，還有一條公共邊，利用角的平分線在角的兩邊上截取相等的線段，或向兩邊作垂線，對稱構(gòu)造出全等三角形是常用的證明方法．
?
例5．如圖5，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．證明：AD=CD．
?
?
分析：由角的平分線條件，在BC上截取BE=BA，可構(gòu)造△ABD≌△EBD，從而AD=DE．則只要證明DE=CD．
?
證明：在BC上截取BE=BA，連接DE．
?
由BD平分∠ABC，易證△ABD≌△EBD
?
∴AD=DE??? ∠A=∠BED
?
又∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°
?
∴∠DEC=∠C，∴DE=CD
?
∴AD=CD
?
（發(fā)表于《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2009年10月第10期）
| 中考政策 | 中考狀元 | 中考飲食 | 中考備考輔導(dǎo) | 中考復(fù)習(xí)資料 |