2012中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)知識歸納 73

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    五種輔助線助你證全等
    湖北省黃石市下陸中學(xué) 宋毓彬
    
    在證明三角形全等時(shí)有時(shí)需添加輔助線,對學(xué)習(xí)幾何證明不久的學(xué)生而言往往是難點(diǎn).下面介紹證明全等時(shí)常見的五種輔助線,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.
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    一、截長補(bǔ)短
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    一般地,當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系,且這兩條線段不在同一直線上時(shí),通??梢钥紤]用截長補(bǔ)短的辦法:或在長線段上截取一部分使之與短線段相等;或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等.
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    例1.如圖1,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB.求證:AC=AE+CD.
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    分析:要證AC=AE+CD,AE、CD不在同一直線上.故在AC上截取AF=AE,則只要證明CF=CD.
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    證明:在AC上截取AF=AE,連接OF.
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    ∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB,∠ABC=60°
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    ∴∠1+∠2=60°,∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°.
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    顯然,△AEO≌△AFO,∴∠5=∠4=60°,∴∠7=180°-(∠4+∠5)=60°
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    在△DOC與△FOC中,∠6=∠7=60°,∠2=∠3,OC=OC
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    ∴△DOC≌△FOC, CF=CD
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    ∴AC=AF+CF=AE+CD.
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    二、中線倍長
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    三角形問題中涉及中線(中點(diǎn))時(shí),將三角形中線延長一倍,構(gòu)造全等三角形是常用的解題思路.
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    例2.已知三角形的兩邊長分別為7和5,那么第三邊上中線長x的取值范圍是(?? ).
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    分析:要求第三邊上中線的取值范圍,只有將將中線與兩個(gè)已知邊轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中,然后利用三角形的三邊關(guān)系才能進(jìn)行分析和判斷.
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    解:如圖2所示,設(shè)AB=7,AC=5,BC上中線AD=x.
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    延長AD至E,使DE = AD=x.
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    ∵AD是BC邊上的中線,∴BD=CD
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    ∠ADC=∠EDB(對頂角)∴△ADC≌△EDB
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    ∴BE=AC=5
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    ∵在△ABE中?? AB-BE<AE<AB+BE
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    即7-5<2x<7+5???? ∴1<x<6
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    三、作平行線
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    當(dāng)三角形問題中有相等的角或等腰等條件時(shí),可通過作平行線將相等的角轉(zhuǎn)換到某一個(gè)三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角,從而為證明全等提供條件.
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    例3.如圖3,在等腰△ABC中,AB=AC,在AB上截取BD,在AC延長線上截取CE,且使CE=BD.連接DE交BC于F.求證:DF=EF.
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    分析:要證DF=EF,必須借助三角形全等.而現(xiàn)有圖形中沒有全等三角形.由等腰三角形條件,可知∠B=∠ACB,作DH∥AE,可得∠DHB=∠ACB.則△DBH為等腰三角形.
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    證明:作DH∥AE交BC于H.
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    ∴∠DHB=∠ACB,
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    ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB
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    ∴∠DHB=∠B,DH=BD
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    ∵CE=BD??? ∴DH= CE
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    又DH∥AE,∠HDF=∠E?
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    ∠DFH=∠EFC(對頂角)
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    ∴△ DFH≌△EFC(AAS)?∴DF=EF
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    四、補(bǔ)全圖形
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    在一些求證三角形問題中,延長某兩條線段(邊)相交,構(gòu)成一個(gè)封閉的圖形,可找到更多的相等關(guān)系,有助于問題的解決.
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    例4.如圖4,在△ABC中,AC=BC,∠B=90°,BD為∠ABC的平分線.若A點(diǎn)到直線BD的距離AD為a,求BE的長.
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    分析:題設(shè)中只有一條已知線段AD,且為直角邊,而要求的BE為斜邊.要找到它們之間的關(guān)系,需設(shè)法構(gòu)造其他的全等三角形.
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    證明:延長AD、BC相交于F.
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    由BD為∠ABC的平分線,BD⊥AF.
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    易證△ADB≌△FDB?? ∴FD= AD=a? AF=2a???? ∠F=∠BAD????
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    又∠BAD+∠ABD=90°,∠F+∠FAC=90°
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    ∴∠ABD=∠FAC???
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    ∵BD為∠ABC的平分線?∴∠ABD=∠CBE
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    ∴∠FAC=∠CBE,而∠ECB=∠ACF=90°,AC=BC
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    ∴△ACF≌△BCE(ASA)??? ∴BE=AF=2a
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    五、利用角的平分線對稱構(gòu)造全等
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    角的平分線是角的對稱軸,在證明全等過程中不僅提供了兩個(gè)相等的角,還有一條公共邊,利用角的平分線在角的兩邊上截取相等的線段,或向兩邊作垂線,對稱構(gòu)造出全等三角形是常用的證明方法.
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    例5.如圖5,在四邊形ABCD中,已知BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°.證明:AD=CD.
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    分析:由角的平分線條件,在BC上截取BE=BA,可構(gòu)造△ABD≌△EBD,從而AD=DE.則只要證明DE=CD.
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    證明:在BC上截取BE=BA,連接DE.
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    由BD平分∠ABC,易證△ABD≌△EBD
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    ∴AD=DE??? ∠A=∠BED
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    又∠A+∠C=180°,∠BED+∠DEC=180°
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    ∴∠DEC=∠C,∴DE=CD
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    ∴AD=CD
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    (發(fā)表于《中學(xué)生數(shù)學(xué)》2009年10月第10期)
    
    
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