2014年線性代數(shù)及常微分方程考研大綱——陜西科技大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院
一、線性代數(shù)部分（50%）
本課程主要是使學(xué)生掌握多項式、行列式、線性方程組、矩陣基本理論、二次型、線性空間、線性變換、歐幾里得空間等基本概念，熟悉基本內(nèi)容，掌握各部分之間的聯(lián)系，對基本理論的內(nèi)涵有一定的了解。在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)當(dāng)理論聯(lián)系實際，避免單一的理論推導(dǎo)，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和興趣。學(xué)習(xí)過程中應(yīng)重點掌握以下內(nèi)容：多項式的互素與整除、行列式的計算方法、線性方程組的解法、矩陣的運算與矩陣求逆、二次型的標(biāo)準(zhǔn)化方法、子空間的直和、特征值和特征向量、不變因子和初等因子、標(biāo)準(zhǔn)正交基和正交變換等。
1.多項式
(1)掌握一元多項式的基本概念及其運算。
(2)熟練掌握一元多項式的整除，最大公因子，互素的概念，性質(zhì)及有關(guān)的證明。
(3)掌握不可約多項式的概念，性質(zhì)，理解因式分解定理的意義，掌握復(fù)數(shù)域，實數(shù)域上的多項式的標(biāo)準(zhǔn)分解式及復(fù)數(shù)域，實數(shù)域上不可約多項式。
(4)知道艾森斯坦因判別法，會求Q[x]中的多項式的有理根。
2.行列式
(1)正確理解行列式的定義和基本性質(zhì)。
(2)熟練掌握計算行列式的一些常用方法。
(3)正確理解克萊姆法則并能用它解線性方程組。
3.線性方程組
(1)掌握線性方程組的有關(guān)概念，能熟練地運用消元法解線性方程組。
(2)正確理解向量組的線性相關(guān)性，向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩的定義及意義。
(3)深刻理解矩陣秩的定義，掌握初等變換下的矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形，會用矩陣的初等變換求矩陣的秩。
(4)正確理解線性方程組有解的條件，并能正確地判定一個線性方程組是否有解及解的個數(shù)。
(5)熟練掌握線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理。
4.矩陣
(1)正確理解和掌握有關(guān)矩陣的主要概念，熟練和準(zhǔn)確地進(jìn)行矩陣的基本運算。
(2)會判定一個矩陣是否可逆，會求逆矩陣。
(3)熟練掌握初等變換與初等矩陣，可逆矩陣與初等矩陣的關(guān)系，矩陣在等價意義下的標(biāo)準(zhǔn)形，會運用標(biāo)準(zhǔn)形解決矩陣中的一些問題，特別是關(guān)于矩陣秩的問題。
5.二次型
(1)掌握二次型的概念，理解二次型與對稱矩陣的關(guān)系。
(2)熟練掌握二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形的方法，理解在復(fù)數(shù)域、實數(shù)域上二次型的規(guī)范形及其唯一性。
(3)理解矩陣的合同及其性質(zhì)，會求矩陣在合同意義下的標(biāo)準(zhǔn)形。
(4)理解實二次型的分類，掌握正定二次型的判別法。
6.線性空間
(1)熟練掌握線性空間，基，維數(shù)，向量的坐標(biāo)等概念。
(2)掌握子空間，子空間的和與直和的概念。
7.線性變換
(1)掌握線性變換以及矩陣表示的概念，知道矩陣的特征多項式，特征根，特征向量，不變子空間的概念及作用。
(2)掌握線性變換及矩陣可對角化的充分條件及充要條件，會將矩陣對角化，了解復(fù)數(shù)域上的矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。
8.歐幾里得空間
(1)掌握內(nèi)積的定義和性質(zhì)，柯西-施瓦茲不等式，歐氏空間，向量的長度，距離和夾角，向量的正交及性質(zhì)。
(2)掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義及其作用，標(biāo)準(zhǔn)正交基的存在性，標(biāo)準(zhǔn)正交基間的過渡矩陣的特點，由一般基求正交基的正交化方法。
(3)掌握正交變換的概念，標(biāo)準(zhǔn)形;了解最小二乘法。
(4)掌握對稱變換的定義以及與對稱矩陣的關(guān)系。
二、常微分方程部分（50%）
本課程主要是使學(xué)生掌握一階微分方程的初等解法、一階微分方程的解的存在定理、高階微分方程及線性微分方程解的一般理論，了解非線性微分方程解的穩(wěn)定性。常微分方程是一門與實際應(yīng)用聯(lián)系很強(qiáng)的課程，在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)當(dāng)理論聯(lián)系實際，通過學(xué)習(xí)該課程使學(xué)生能提出問題、分析問題、解決問題，增強(qiáng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。
1.常微分方程的初等積分法
(1)理解常微分方程與解的基本概念和關(guān)系。
(2)熟練掌握變量可分離方程、齊次方程、一階線性方程和恰當(dāng)方程的解法。
(3)通過線素場與歐拉折線了解一階微分方程與解的幾何意義。
(4)基本掌握一階隱方程與可降階的高階方程的解法。
(5)能夠解決比較簡單的應(yīng)用問題。
2.一階常微分方程的解的存在唯一性定理
(1)掌握解的存在唯一性定理的精確表述和證明方法，并能熟練證明。
(2)掌握解的延伸定理與比較定理，掌握怎樣求解的最大存在區(qū)間。
(3)理解解對初值的連續(xù)性定理與貝爾曼引理。
(4)理解解對初值的可微性定理，了解變分問題。
3.線性微分方程
(1)了解線性微分方程的一般概念與一般性質(zhì)。
(2)掌握線性齊次微分方程的解組的線性相關(guān)性與朗斯基行列式的關(guān)系，了解齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu)與劉維爾公式。
(3)掌握線性非齊次微分方程的解的結(jié)構(gòu)定理。在已知齊次方程的一個基礎(chǔ)解系的條件下，會通過系數(shù)變易的方法求出非齊次方程的一個特解。
(4)能夠通過特征方程解常系數(shù)線性微分方程，熟練掌握特征方程解的幾種不同情況下線性微分方程的基礎(chǔ)解系的構(gòu)造。
(5)掌握待定系數(shù)法，求幾種特殊形狀的常系數(shù)非齊次方程的特解。
(6)簡單了解微分方程的拉普拉斯變換解法與冪級數(shù)解法大意。
4.線性微分方程組
(1)了解一階微分方程組與一階線性微分方程組的一般概念，掌握n階一元線性微分方程與n元線性方程組的互化關(guān)系。
(2)掌握線性齊次微分方程組的解組的線性相關(guān)性與朗斯基行列式的關(guān)系，了解齊次微分方程組的解的結(jié)構(gòu)與劉維爾公式。
(3)掌握線性非齊次微分方程組的解的結(jié)構(gòu)定理。在已知齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系的條件下，會通過系數(shù)變易的方法求出非齊次方程組的一個特解。
(4)能夠通過解特征方程組解常系數(shù)線性微分方程組，熟練掌握特征方程組解的幾種不同情況下線性微分方程組的基礎(chǔ)解系的構(gòu)造。
5.定性理論初步
(1)掌握動力系統(tǒng)概念，建立常微分方程幾何研究的基本思想。
(2)掌握平面線性定常系統(tǒng)奇點類型分析方法;掌握平面定常系統(tǒng)奇點附近軌線分析方法。
(3)了解平面定常系統(tǒng)極限環(huán)存在性判別方法。
參考書目：
《線性代數(shù)》(第二版)居余馬，清華大學(xué)出版社
《常微分方程》(第3版)王高雄，高等教育出版社
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