(一)馬克威茨模型的基本假設以及單個證券收益風險的度量
假設一：投資者以期望收益率(亦稱收益率均值)來衡量未來實際收益率的總體水平，以收益率的方差(或標準差)來衡量收益率的不確定性(風險)，因而投資者在決策中只關心投資的期望收益率和方差。
假設二：投資者是不知足的和厭惡風險的，即投資者總是希望期望收益率越高越好，而方差越小越好。
理性投資者的行為特征和決策方法應該符合下面幾點。
第一，追求收益化。在相同風險水平的組合中，投資者選擇期望收益率的組合。
第二，厭惡風險。在相同期望收益率水平的組合中，投資者會選擇風險最小的組合。
第三，追求效用化。如果增加了風險，一定要相應地增加足夠的收益。
下面是單個證券的的收益和風險度量的期望和方差。
1．收益及其度量。
用隨機變量度量收益的不確定性(可變性)。任何一項投資的效果都可以用收益率來衡量。
收益率=(收入—支出)／支出x100％
假若投資期限為一年，該收益率表示年收益率，如果投資期限不是一年，則可以轉換為年收益率。例如，投資期限為t年(t不一定是整數(shù))，投資期限內的收益率為r，則年收益率f1將滿足：
r1= (1+r)1／t一1
對于證券投資采說，投資收益將等于收到的紅利與投資期內證券的價格變化相加，因而收益率為：
r=(紅利+期末價格—期初價格)／期初價格X100％
在收益確定性的情況下(比如將錢存人銀行，不計通貨膨脹的影響)，投資者可以準確得知現(xiàn)在的投資到未來一定時期內可獲得的收益。而在不確定性情況下，問題則要復雜得多，證券價格時刻處于波動之中，未來價格不可能準確知道，因而人們要想對未來一定期限內的收益率做出準確判斷是絕對不可能的。
將這個問題降低一個難度，則可以得出對每一個收益率范圍的可能性的估計。投資者可以根據(jù)自己的分析將估計結果用數(shù)字的形式表述出來。 比如，可以用下表來描述一項投資的風險處境。
收益率％ 6 7 8 9 10 11
可能性 0．05 0．1 0．2 0．3 0．2 0．15
數(shù)學上收益率r就是為隨機變量。將隨機變量取各種可能值及其對應的可能性(概率)一一列出則稱為給出了隨機變量的一個分布。一項投資的風險處境實際上就是用收益率(作為一個隨機變量)的分布來描述的。
對于一般情況，用隨機變量的概率分布來描述。將有可能出現(xiàn)的收益率用d(i=1，2，…，n)來表示，獲得收益率d的可能性用pi表示。風險 處境的一般表述如下表。 收益率 n r2 rn
概率 P1 p2 pn
預期收益。預期收益率就是的隨機變量的期望收益率，計算公式如下：
Er=∑riXpi
2.風險及其度量。
如果投資者以預期收益率為依據(jù)來進行決策，就必須意識到正在冒著得不到預期收益率的風險。風險的大小可由未來可能收益率與預期收益率的偏離程度來反映。在投資學中，這種偏離程度用收益率(隨機變量)的方差或標準差加以度量。
σ2(r)=∑(ri—Er)2XPi
式中，σ2(r)稱為收益率r的方差，。(r)則稱為r的標準差。
3．樣本平均值和樣本方差
用歷史數(shù)據(jù)估計期望收益率和方差。
計算樣本期望和方差之前，應該得到用一系列數(shù)字表示的樣本。假設投資者記錄了時間區(qū)間從時刻t=1到時刻t=n的實際收益率rt(t=1，2，…，n)，這就是由收益率的時間序列所構成的一段樣本，則樣本均值和樣本方差為：
4．系統(tǒng)風險與非系統(tǒng)風險。
系統(tǒng)風險是與市場的整體運動相關聯(lián)的。通常表現(xiàn)為某個領域、某個金融市場或某個行業(yè)部門的整體變化。這類風險因其來源于宏觀因素變化對市場整體的影響，因而亦稱之為“宏觀風險”。
非系統(tǒng)風險，則基本上只針對某個具體的證券或板塊，而與其他證券無關。種風險來自于企業(yè)內部的微觀因素，因而亦稱之為“微觀風險”。
對于非系統(tǒng)風險，可采用分散投資來弱化甚至消除。但是，分散投資不能改善系統(tǒng)風險。在高度分散化的前提下，可以消除非系統(tǒng)風險，但與此同時，系統(tǒng)風險趨于正常的平均水平——即市場整體水平。
降低系統(tǒng)風險有兩種方法。一種是將風險證券與無風險證券進行投資組合。如果增加無風險證券的投資比例，系統(tǒng)風險將降低。另一種辦法是實際證券組合管理常用的方法——套期保值。
從收益與風險關系采看，系統(tǒng)風險可以帶采收益的補償，而非系統(tǒng)風險則得不到收益補償。因而人們常常義無反顧地要求降低非系統(tǒng)風險。對于系統(tǒng)風險，人們則需根據(jù)自己的風險承受能力決定承擔多大的系統(tǒng)風險以期獲得相應的收益獎勵，因而人們并不普遍采取措施來完全消除系統(tǒng)風險，而是通過投資選擇使系統(tǒng)風險處于自己認為最滿意的位置。
（二)證券組合的收益和方差
1．由兩個證券組成的組合的數(shù)學表示。
假設有兩種證券A和證券B，某個投資者將一筆資金以xA的比例投資于證券A，以xB的比例投資于證券B，且xA+xB=1，稱該投資者擁有一個證券組合P：(xA，xB)，xA，xB分別稱為證券組合P中證券A的權數(shù)和證券B的權數(shù)。如果到期時，證券A的收益率為ra，證券B的收益率為rB，則證券組合P的收益率顯然為：
rP=XAX rA+XB X rB
證券組合中的權數(shù)可以為負，比如xA<0，則表示該組合投資者賣空了證券A，并將所得的資金連同自有資金買人證券B，因為xA+xB=1，故有XB==1—XA>1。
投資者在進行投資決策時并不知道rA和rB的確切值，因而此時的rA和rB應該是隨機變量，對其分布的簡化描述是它們的期望值和方差。
2．兩種證券組成的組合的期望收益率和風險計算方法。
為了得到投資組合P的期望收益率和收益的方差，除了要知道A和B兩種證券各自的期望收益率和方差外，還必須知道它們的收益率之間的關聯(lián)性——相關系數(shù)或協(xié)方差。在此基礎上，才可以計算出組合P的期望和方差。具體的計算公式如下：
E(rp) =XA*E(rA) +xB*E(rB)
從上面的計算公式中看出，如果選擇不同的組合權數(shù)，就可以得到證券A與證券B的不同的證券組合，從而得到不同的期望收益率和方差。因為xA和xB有無限種取值的方式，所以，投資者有無限多種證券組合可供選擇。正是因如此，每個投資者可以根據(jù)自己對收益和方差(風險)的偏好，選擇符合自己要求的證券組合。
3．由多個證券組成的組合的期望和風險的計算。
設有n種證券，記作A1，A2，…，An，證券組合·P=(x1，x2，…，xn)表不資金分別以權數(shù)xl，x2，…，xn，投資到證券A1，A2，…， An。如果允許賣空，則權數(shù)可以為負，負的權數(shù)表示賣空相應證券占，總資金的比例。假設證券Ai的期望收益率為
Erj(i=1，2，…，n)，則，簡單的數(shù)學推導可得證券組合P的期望收益率和方差，分別可通過下式計算：
式中，為證券Aj的收益率rj的方差，ρii為ri與rj的相關系數(shù)(i，j=1，2，…，n)。計算，需估計n個方差和n(n—1)／2個協(xié)方差，當n非常大時，計算量十分巨大。
(三)證券組合的可行域和有效邊界
1．證券組合的可行域。
如果選定了每個證券的投資比例，就確定了一個證券組合，進而可以計算這個組合的期望收益率和標準差。從幾何的觀點看，以期望收益率為縱座標、標準差為橫坐標，那么，就可在Ep~op坐標系中確定一個點。因此，每個證券組合都對應于Ep~σp中的一個點。反過來，Ep~σp中的某個點有可能反映一個特定的證券組合。
如果投資者選擇了全部的可以選擇的投資比例，那么，每個證券組合在Ep~σp中的點將組成一個Ep---σp中的區(qū)域。這個區(qū)域就是可行域(feasible set)?？尚杏蛑械狞c所對應的組合才是“有可能實現(xiàn)”的證券組合?？尚杏蛑獾狞c是不可能實現(xiàn)的證券組合。
下面的圖形歸納了可行域的幾種典型示例。其中封閉區(qū)域的是不允許賣空情況下的可行域，有開口而不封閉的是允許賣空情況下的可行域。可行域左上邊緣部分必然向外凸或呈線性，即，不會出現(xiàn)凹陷。
略
2．證券組合的有效邊界。
投資者在證券組合的選擇上遵循下述規(guī)則：①如果兩種證券組合具有相同的收益率標準差，和不同的期望收益率，那么投資者選擇期望收益率高的一種組合；②如果兩種證券組合具有相同的期望收益率和不同的收益率標準差，那么他就選擇標準差較小的那種組合；③如果一種證券組合比另一種證券組合具有較小的標準差和較高的期望收益率，則他選擇前一種組合。這種選擇規(guī)則，我們稱之為投資者的共同偏好規(guī)則。
圖中任何一個點都一定比這一點“西北方(左上方)”或“正北方”的點“壞”。同時，一定比這一點“東南方(右下方)”或“正東方”的點“好”。
從幾何圖形的觀點看，所有的有效組合在可行域的圖形中，組成了可行域的左上方的邊界，我們稱之為有效邊界。對于可行域內部及下邊緣上的任意可行組合，均可以在有效邊界上找到一個有效組合比它好。但有效邊界上的不同組合，比如B和C，按共同偏好規(guī)則，則不能區(qū)分好壞。因而有效組合相當于有可能被某位投資者選作組合的候選組合，不同投資者可以在有效邊界上獲得任何位置。
由于可行域的形狀所限，有效邊界一定是向外凸的(不會有凹陷)，但允許有線性部分。圖中粗線部分為幾種有效邊界。
略
(四)證券組合
1．投資者的個人偏好與無差異曲線。按照投資者共同偏好規(guī)則，有些證券組合之間是不能區(qū)分好壞的：
E(rA)
證券組合B雖然比組合A承擔著大的風險，但它卻同時帶來更高的期望收益率，這種期望收益率的增量可認為是對增加的風險的補償。
某投資者認為經(jīng)過A的那一條曲線上的證券組合對他的滿意程度相同(無差異)，那么，我們稱這條曲線為該投資者的一條無差異曲線(或稱等效曲線)。有了這條無差異曲線，任何證券組合均可與證券A進行比較。比如，按該投資者的偏好，組合B與A無差異(等效)；C比A好，因為C在過A的無差異曲線的左上方，所以，實際_kc比該無差異曲線上的任何組合都好；相反，D則比A壞，因為它落在該無差異曲線的右下方。
略
同樣，也有一系列證券組合與C等效，從而形成過C的一條無差異曲線，類似地，過D也有一條無差異曲線。事實上，任何一個證券組合都將落在某一條無差異曲線上。
無差異曲線應該具有下面幾個性質：
第一，無差異曲線的波動方向一定是從左下方向右上方的過程。
第二，隨著無差異曲線向右移動，曲線將變得越來越陡，而不是越來越平緩。隨著所增加的風險將增大，而為了補償增加風險，所需要額外增加的風險溢價將更加大。
第三，無差異曲線的形狀(彎曲程度)因人而異，它反映了該投資者的偏好態(tài)度。
第四，無差異曲線族中的曲線互不相交。
2．證券組合的選擇。
投資者要在有效組合中確定自己的證券組合點，需要首先確定自己的無差異曲線。因為無差異曲線與有效邊界的“彎曲方向”不同，有效邊界與無差異曲線族中的一條曲線應該只能有一個交點，否則，就不是。換句話說，有效邊界中的每個點都對應一條無差異曲線。這樣，對應于位置的無差異曲線的那個有效組合便是該投資者所認為的證券組合。這里所說的位置，是指處在“最西北”的位置。
這個證券組合顯然就是無差異曲線族與有效邊界的切點所代表的組合。
假設一：投資者以期望收益率(亦稱收益率均值)來衡量未來實際收益率的總體水平，以收益率的方差(或標準差)來衡量收益率的不確定性(風險)，因而投資者在決策中只關心投資的期望收益率和方差。
假設二：投資者是不知足的和厭惡風險的，即投資者總是希望期望收益率越高越好，而方差越小越好。
理性投資者的行為特征和決策方法應該符合下面幾點。
第一，追求收益化。在相同風險水平的組合中，投資者選擇期望收益率的組合。
第二，厭惡風險。在相同期望收益率水平的組合中，投資者會選擇風險最小的組合。
第三，追求效用化。如果增加了風險，一定要相應地增加足夠的收益。
下面是單個證券的的收益和風險度量的期望和方差。
1．收益及其度量。
用隨機變量度量收益的不確定性(可變性)。任何一項投資的效果都可以用收益率來衡量。
收益率=(收入—支出)／支出x100％
假若投資期限為一年，該收益率表示年收益率，如果投資期限不是一年，則可以轉換為年收益率。例如，投資期限為t年(t不一定是整數(shù))，投資期限內的收益率為r，則年收益率f1將滿足：
r1= (1+r)1／t一1
對于證券投資采說，投資收益將等于收到的紅利與投資期內證券的價格變化相加，因而收益率為：
r=(紅利+期末價格—期初價格)／期初價格X100％
在收益確定性的情況下(比如將錢存人銀行，不計通貨膨脹的影響)，投資者可以準確得知現(xiàn)在的投資到未來一定時期內可獲得的收益。而在不確定性情況下，問題則要復雜得多，證券價格時刻處于波動之中，未來價格不可能準確知道，因而人們要想對未來一定期限內的收益率做出準確判斷是絕對不可能的。
將這個問題降低一個難度，則可以得出對每一個收益率范圍的可能性的估計。投資者可以根據(jù)自己的分析將估計結果用數(shù)字的形式表述出來。 比如，可以用下表來描述一項投資的風險處境。
收益率％ 6 7 8 9 10 11
可能性 0．05 0．1 0．2 0．3 0．2 0．15
數(shù)學上收益率r就是為隨機變量。將隨機變量取各種可能值及其對應的可能性(概率)一一列出則稱為給出了隨機變量的一個分布。一項投資的風險處境實際上就是用收益率(作為一個隨機變量)的分布來描述的。
對于一般情況，用隨機變量的概率分布來描述。將有可能出現(xiàn)的收益率用d(i=1，2，…，n)來表示，獲得收益率d的可能性用pi表示。風險 處境的一般表述如下表。 收益率 n r2 rn
概率 P1 p2 pn
預期收益。預期收益率就是的隨機變量的期望收益率，計算公式如下：
Er=∑riXpi
2.風險及其度量。
如果投資者以預期收益率為依據(jù)來進行決策，就必須意識到正在冒著得不到預期收益率的風險。風險的大小可由未來可能收益率與預期收益率的偏離程度來反映。在投資學中，這種偏離程度用收益率(隨機變量)的方差或標準差加以度量。
σ2(r)=∑(ri—Er)2XPi
式中，σ2(r)稱為收益率r的方差，。(r)則稱為r的標準差。
3．樣本平均值和樣本方差
用歷史數(shù)據(jù)估計期望收益率和方差。
計算樣本期望和方差之前，應該得到用一系列數(shù)字表示的樣本。假設投資者記錄了時間區(qū)間從時刻t=1到時刻t=n的實際收益率rt(t=1，2，…，n)，這就是由收益率的時間序列所構成的一段樣本，則樣本均值和樣本方差為：
4．系統(tǒng)風險與非系統(tǒng)風險。
系統(tǒng)風險是與市場的整體運動相關聯(lián)的。通常表現(xiàn)為某個領域、某個金融市場或某個行業(yè)部門的整體變化。這類風險因其來源于宏觀因素變化對市場整體的影響，因而亦稱之為“宏觀風險”。
非系統(tǒng)風險，則基本上只針對某個具體的證券或板塊，而與其他證券無關。種風險來自于企業(yè)內部的微觀因素，因而亦稱之為“微觀風險”。
對于非系統(tǒng)風險，可采用分散投資來弱化甚至消除。但是，分散投資不能改善系統(tǒng)風險。在高度分散化的前提下，可以消除非系統(tǒng)風險，但與此同時，系統(tǒng)風險趨于正常的平均水平——即市場整體水平。
降低系統(tǒng)風險有兩種方法。一種是將風險證券與無風險證券進行投資組合。如果增加無風險證券的投資比例，系統(tǒng)風險將降低。另一種辦法是實際證券組合管理常用的方法——套期保值。
從收益與風險關系采看，系統(tǒng)風險可以帶采收益的補償，而非系統(tǒng)風險則得不到收益補償。因而人們常常義無反顧地要求降低非系統(tǒng)風險。對于系統(tǒng)風險，人們則需根據(jù)自己的風險承受能力決定承擔多大的系統(tǒng)風險以期獲得相應的收益獎勵，因而人們并不普遍采取措施來完全消除系統(tǒng)風險，而是通過投資選擇使系統(tǒng)風險處于自己認為最滿意的位置。
（二)證券組合的收益和方差
1．由兩個證券組成的組合的數(shù)學表示。
假設有兩種證券A和證券B，某個投資者將一筆資金以xA的比例投資于證券A，以xB的比例投資于證券B，且xA+xB=1，稱該投資者擁有一個證券組合P：(xA，xB)，xA，xB分別稱為證券組合P中證券A的權數(shù)和證券B的權數(shù)。如果到期時，證券A的收益率為ra，證券B的收益率為rB，則證券組合P的收益率顯然為：
rP=XAX rA+XB X rB
證券組合中的權數(shù)可以為負，比如xA<0，則表示該組合投資者賣空了證券A，并將所得的資金連同自有資金買人證券B，因為xA+xB=1，故有XB==1—XA>1。
投資者在進行投資決策時并不知道rA和rB的確切值，因而此時的rA和rB應該是隨機變量，對其分布的簡化描述是它們的期望值和方差。
2．兩種證券組成的組合的期望收益率和風險計算方法。
為了得到投資組合P的期望收益率和收益的方差，除了要知道A和B兩種證券各自的期望收益率和方差外，還必須知道它們的收益率之間的關聯(lián)性——相關系數(shù)或協(xié)方差。在此基礎上，才可以計算出組合P的期望和方差。具體的計算公式如下：
E(rp) =XA*E(rA) +xB*E(rB)
從上面的計算公式中看出，如果選擇不同的組合權數(shù)，就可以得到證券A與證券B的不同的證券組合，從而得到不同的期望收益率和方差。因為xA和xB有無限種取值的方式，所以，投資者有無限多種證券組合可供選擇。正是因如此，每個投資者可以根據(jù)自己對收益和方差(風險)的偏好，選擇符合自己要求的證券組合。
3．由多個證券組成的組合的期望和風險的計算。
設有n種證券，記作A1，A2，…，An，證券組合·P=(x1，x2，…，xn)表不資金分別以權數(shù)xl，x2，…，xn，投資到證券A1，A2，…， An。如果允許賣空，則權數(shù)可以為負，負的權數(shù)表示賣空相應證券占，總資金的比例。假設證券Ai的期望收益率為
Erj(i=1，2，…，n)，則，簡單的數(shù)學推導可得證券組合P的期望收益率和方差，分別可通過下式計算：
式中，為證券Aj的收益率rj的方差，ρii為ri與rj的相關系數(shù)(i，j=1，2，…，n)。計算，需估計n個方差和n(n—1)／2個協(xié)方差，當n非常大時，計算量十分巨大。
(三)證券組合的可行域和有效邊界
1．證券組合的可行域。
如果選定了每個證券的投資比例，就確定了一個證券組合，進而可以計算這個組合的期望收益率和標準差。從幾何的觀點看，以期望收益率為縱座標、標準差為橫坐標，那么，就可在Ep~op坐標系中確定一個點。因此，每個證券組合都對應于Ep~σp中的一個點。反過來，Ep~σp中的某個點有可能反映一個特定的證券組合。
如果投資者選擇了全部的可以選擇的投資比例，那么，每個證券組合在Ep~σp中的點將組成一個Ep---σp中的區(qū)域。這個區(qū)域就是可行域(feasible set)?？尚杏蛑械狞c所對應的組合才是“有可能實現(xiàn)”的證券組合?？尚杏蛑獾狞c是不可能實現(xiàn)的證券組合。
下面的圖形歸納了可行域的幾種典型示例。其中封閉區(qū)域的是不允許賣空情況下的可行域，有開口而不封閉的是允許賣空情況下的可行域。可行域左上邊緣部分必然向外凸或呈線性，即，不會出現(xiàn)凹陷。
略
2．證券組合的有效邊界。
投資者在證券組合的選擇上遵循下述規(guī)則：①如果兩種證券組合具有相同的收益率標準差，和不同的期望收益率，那么投資者選擇期望收益率高的一種組合；②如果兩種證券組合具有相同的期望收益率和不同的收益率標準差，那么他就選擇標準差較小的那種組合；③如果一種證券組合比另一種證券組合具有較小的標準差和較高的期望收益率，則他選擇前一種組合。這種選擇規(guī)則，我們稱之為投資者的共同偏好規(guī)則。
圖中任何一個點都一定比這一點“西北方(左上方)”或“正北方”的點“壞”。同時，一定比這一點“東南方(右下方)”或“正東方”的點“好”。
從幾何圖形的觀點看，所有的有效組合在可行域的圖形中，組成了可行域的左上方的邊界，我們稱之為有效邊界。對于可行域內部及下邊緣上的任意可行組合，均可以在有效邊界上找到一個有效組合比它好。但有效邊界上的不同組合，比如B和C，按共同偏好規(guī)則，則不能區(qū)分好壞。因而有效組合相當于有可能被某位投資者選作組合的候選組合，不同投資者可以在有效邊界上獲得任何位置。
由于可行域的形狀所限，有效邊界一定是向外凸的(不會有凹陷)，但允許有線性部分。圖中粗線部分為幾種有效邊界。
略
(四)證券組合
1．投資者的個人偏好與無差異曲線。按照投資者共同偏好規(guī)則，有些證券組合之間是不能區(qū)分好壞的：
E(rA)
證券組合B雖然比組合A承擔著大的風險，但它卻同時帶來更高的期望收益率，這種期望收益率的增量可認為是對增加的風險的補償。
某投資者認為經(jīng)過A的那一條曲線上的證券組合對他的滿意程度相同(無差異)，那么，我們稱這條曲線為該投資者的一條無差異曲線(或稱等效曲線)。有了這條無差異曲線，任何證券組合均可與證券A進行比較。比如，按該投資者的偏好，組合B與A無差異(等效)；C比A好，因為C在過A的無差異曲線的左上方，所以，實際_kc比該無差異曲線上的任何組合都好；相反，D則比A壞，因為它落在該無差異曲線的右下方。
略
同樣，也有一系列證券組合與C等效，從而形成過C的一條無差異曲線，類似地，過D也有一條無差異曲線。事實上，任何一個證券組合都將落在某一條無差異曲線上。
無差異曲線應該具有下面幾個性質：
第一，無差異曲線的波動方向一定是從左下方向右上方的過程。
第二，隨著無差異曲線向右移動，曲線將變得越來越陡，而不是越來越平緩。隨著所增加的風險將增大，而為了補償增加風險，所需要額外增加的風險溢價將更加大。
第三，無差異曲線的形狀(彎曲程度)因人而異，它反映了該投資者的偏好態(tài)度。
第四，無差異曲線族中的曲線互不相交。
2．證券組合的選擇。
投資者要在有效組合中確定自己的證券組合點，需要首先確定自己的無差異曲線。因為無差異曲線與有效邊界的“彎曲方向”不同，有效邊界與無差異曲線族中的一條曲線應該只能有一個交點，否則，就不是。換句話說，有效邊界中的每個點都對應一條無差異曲線。這樣，對應于位置的無差異曲線的那個有效組合便是該投資者所認為的證券組合。這里所說的位置，是指處在“最西北”的位置。
這個證券組合顯然就是無差異曲線族與有效邊界的切點所代表的組合。