初一奧數(shù)期末自測題(五)及答案解析

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    1.一項任務(wù),若每天超額2件,可提前計劃3天完工,若每天超額4件,可提前5天完工,試求工作的件數(shù)和原計劃完工所用的時間.
    2.已知兩列數(shù)
    

2,5,8,11,14,17,…,2+(200-1)×3,
    

5,9,13,17,21,25,…,5+(200-1)×4,
    它們都有200項,問這兩列數(shù)中相同的項數(shù)有多少項?
    3.求x3-3px+2q能被x2+2ax+a2整除的條件.
    4.證明不等式
    


    5.若兩個三角形有一個角對應(yīng)相等.求證:這兩個三角形的面積之比等于夾此角的兩邊乘積之比.
    6.已知(x-1)2除多項式x4+ax3-3x2+bx+3所得的余式是x+1,試求a,b的值.
    7.今有長度分別為1,2,3,…,9的線段各一條,可用多少種不同方法,從中選用若干條,使它們能圍成一個正方形?
    8.平面上有10條直線,其中4條是互相平行的.問:這10條直線最多能把平面分成多少部分?
    9.邊長為整數(shù),周長為15的三角形有多少個?
     
    答案解析:
    1.設(shè)每天計劃完成x件,計劃完工用的時間為y天,則總件數(shù)為xy件.依題意得
    


        
    解之得
    


    總件數(shù)
    

xy=8×15=120(件),
    即計劃用15天完工,工作的件數(shù)為120件.
    2.第一列數(shù)中第n項表示為2+(n-1)×3,第二列數(shù)中第m項表示為5+(m-1)×4.要使
    

2+(n-1)×3=5+(m-1)×4.
    所以
    


    因為1≤n≤200,所以
    


        
    所以  m=1,4,7,10,…,148共50項.
    3.
    x3-3px+2q被x2+2ax+a2除的余式為
    

3(a2-p)x+2(q+a3),
    所以所求的條件應(yīng)為
    


    4.令
         
    因為
    


    所以
                 
      
    5.如圖1-106(a),(b)所示.△ABC與△FDE中,
    


    ∠A=∠D.現(xiàn)將△DEF移至△ABC中,使∠A與∠D重合,DE=AE',DF=AF',連結(jié)F'B.此時,△AE'F'的面積等于三角形DEF的面積.
    


    ①×②得
       來
    6.不妨設(shè)商式為x2+α·x+β.由已知有
    x4+ax3-3x2+bx+3
     =(x-1)2(x2+α·x+β)+(x+1)
     =(x2-2x+1)(x2+α· x+β)+x+1
     =x4+(α-2)x3+(1-2α+β)x2
      ?。?1+α-2β)x+β+1.
    比較等號兩端同次項的系數(shù),應(yīng)該有
    


    只須解出
    


    所以a=1,b=0即為所求.
    7.因為
    


    所以正方形的邊長≤11.
    下面按正方形邊的長度分類枚舉:
    (1)邊長為11:
    

9+2=8+3=7+4=6+5,
     可得1種選法.
    (2)邊長為10:
    

9+1=8+2=7+3=6+4,
     可得1種選法.
    (3)邊長為9:
    

9=8+1=7+2=6+3=5+4,
      可得5種選法.
    (4)邊長為8:
    

8=7+1=6+2=5+3,
     可得1種選法.
    (5)邊長為7:
    

7=6+1=5+2=4+3,
      可得1種選法.
    (6)邊長≤6時,無法選擇.
    綜上所述,共有
    

1+1+5+1+1=9
    種選法組成正方形.
    8.先看6條不平行的直線,它們最多將平面分成
    

2+2+3+4+5+6=22個部分.
    現(xiàn)在加入平行線.加入第1條平行線,它與前面的6條直線最多有6個交點,它被分成7段,每一段將原來的部分一分為二,故增加了7個部分.加入第2,第3和第4條平行線也是如此,即每加入一條平行線,最多增加7個部分.因此,這些直最多將平面分成
    

22+7×4=50
    個部分.
    9.不妨設(shè)三角形的三邊長a,b,c滿足a≥b≥c.由b+c>a,a+b+c=15,a≥b≥c可得,15=a+(b+c)>2a,所以a≤7.又15=a+b+c≤3a,故a≥5.于是a=5,6,7.當(dāng)a=5時,b+c=10,故b=c=5;當(dāng)a=b時,b+c=9.于是b=6,c=3,或b=5,c=4;當(dāng)a=7時,b+c=8,于是b=7,c=1,或b=6,c=2,或b=5,c=3,或b=4,c=4.
    所以,滿足題意的三角形共有7個.