三角形的邊
一、選擇題
1. (2014•山東威海,第9題3分)如圖,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點(diǎn)D,連接AD,下列結(jié)論中不正確的是( )
A. ∠BAC=70° B. ∠DOC=90° C. ∠BDC=35° D. ∠DAC=55°
考點(diǎn): 角平分線的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理
分析: 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求出∠BAC=70°,再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABO,然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠AOB再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠DOC=∠AOB,根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和角平分線的定義求出∠DCO,再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可∠BDC,判斷出AD為三角形的外角平分線,然后列式計(jì)算即可求出∠DAC.
解答: 解:∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°,故A選項(xiàng)結(jié)論正確,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°,
在△ABO中,∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°,
∴∠DOC=∠AOB=85°,故B選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤;
∵CD平分∠ACE,
∴∠ACD=(180°﹣60°)=60°,
∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°,故C選項(xiàng)結(jié)論正確;
∵BD、CD分別是∠ABC和∠ACE的平分線,
∴AD是△ABC的外角平分線,
∴∠DAC=(180°﹣70°)=55°,故D選項(xiàng)結(jié)論正確.
故選B.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了角平分線的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,角平分線的定義,熟記定理和概念是解題的關(guān)鍵.
2. (2014•山東臨沂,第3題3分)如圖,已知l1∥l2,∠A=40°,∠1=60°,則∠2的度數(shù)為( )
A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
考點(diǎn): 平行線的性質(zhì);三角形的外角性質(zhì).
分析: 根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠3=∠1,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.
解答: 解:∵l1∥l2,
∴∠3=∠1=60°,
∴∠2=∠A+∠3=40°+60°=100°.
故選D.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行線的性質(zhì),三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì),熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.
3. (2014•江蘇蘇州,第6題3分)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,則∠C的度數(shù)為( )
A. 30° B. 40° C. 45° D. 60°
考點(diǎn): 等腰三角形的性質(zhì)
分析: 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADB的度數(shù),再由平角的定義得出∠ADC的度數(shù),根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
解答: 解:∵△ABD中,AB=AD,∠B=80°,
∴∠B=∠ADB=80°,
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°,
∵AD=CD,
∴∠C= = =40°.
故選B.
點(diǎn)評(píng): 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì),熟知等腰三角形的兩底角相等是解答此題的關(guān)鍵.
4.(2014•福建福州,第6題4分)下列命題中,假命題是【 】
A.對(duì)頂角相等 B.三角形兩邊和小于第三邊
C.菱形的四條邊都相等 D.多邊形的內(nèi)角和等于360°
5.(2014•臺(tái)灣,第20題3分)如圖,有一△ABC,今以B為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫弧,交BC于D點(diǎn),以C為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫弧,交BC于E點(diǎn).若∠B=40°,∠C=36°,則關(guān)于AD、AE、BE、CD的大小關(guān)系,下列何者正確?( )
A.AD=AE B.AE
分析:由∠C<∠B利用大角對(duì)大邊得到AB
解:∵∠C<∠B,
∴AB
即BE+ED
∴BE
故選D.
點(diǎn)評(píng):考查了三角形的三邊關(guān)系,解題的關(guān)鍵是正確的理解題意,了解大邊對(duì)大角.
6.(2014•云南昆明,第5題3分)如圖,在△ABC中,∠A=50°,∠ABC=70°,BD平分∠ABC,則∠BDC的度數(shù)是( )
A. 85° B. 80°
C. 75° D. 70°
考點(diǎn): 角平分線的性質(zhì),三角形外角性質(zhì).
分析: 首先角平分線的性質(zhì)求得 的度數(shù),然后利用三角形外角性質(zhì)求得∠BDC的度數(shù)即可.
解答: 解: ∠ABC=70°,BD平分∠ABC
∠A=50°
∠BDC
故選A.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了三角形角平分線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì).,屬于基礎(chǔ)題,比較簡(jiǎn)單.
7. (2014•泰州,第6題,3分)如果三角形滿足一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍,那么我們稱這個(gè)三角形為“智慧三角形”.下列各組數(shù)據(jù)中,能作為一個(gè)智慧三角形三邊長(zhǎng)的一組是( )
A. 1,2,3 B. 1,1, C. 1,1, D. 1,2,
考點(diǎn): 解直角三角形
專題: 新定義.
分析: A、根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知,不能構(gòu)成三角形,依此即可作出判定;
B、根據(jù)勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形,依此即可作出判定;
C、解直角三角形可知是頂角120°,底角30°的等腰三角形,依此即可作出判定;
D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別是90°,60°,30°的直角三角形,依此即可作出判定.
解答: 解:A、∵1+2=3,不能構(gòu)成三角形,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、∵12+12=( )2,是等腰直角三角形,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、底邊上的高是 = ,可知是頂角120°,底角30°的等腰三角形,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別是90°,60°,30°的直角三角形,其中90°÷30°=3,符合“智慧三角形”的定義,故選項(xiàng)正確.
故選:D.
點(diǎn)評(píng): 考查了解直角三角形,涉及三角形三邊關(guān)系,勾股定理的逆定理,等腰直角三角形的判定,“智慧三角形”的概念.
8. ( 2014•廣西玉林市、防城港市,第10題3分)在等腰△ABC中,AB=AC,其周長(zhǎng)為20cm,則AB邊的取值范圍是( )
A. 1cm
考點(diǎn): 等腰三角形的性質(zhì);解一元一次不等式組;三角形三邊關(guān)系.
分析: 設(shè)AB=AC=x,則BC=20﹣2x,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論.
解答: 解:∵在等腰△ABC中,AB=AC,其周長(zhǎng)為20cm,
∴設(shè)AB=AC=xcm,則BC=(20﹣2x)cm,
∴ ,
解得5cm
故選B.
點(diǎn)評(píng): 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì),熟知等腰三角形的兩腰相等是解答此題的關(guān)鍵.
9. (2014•湖南邵陽,第5題3分)如圖,在△ABC中,∠B=46°,∠C=54°,AD平分∠BAC,交BC于D,DE∥AB,交AC于E,則∠ADE的大小是( )
A. 45° B. 54° C. 40° D. 50°
考點(diǎn): 平行線的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理
分析: 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC,再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD,然后根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ADE=∠BAD.
解答: 解:∵∠B=46°,∠C=54°,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD= ∠BAC= ×80°=40°,
∵DE∥AB,
∴∠ADE=∠BAD=40°.
故選C.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行線的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,角平分線的定義,熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵.
10.(2014•臺(tái)灣,第18題3分)如圖,銳角三角形ABC中,直線L為BC的中垂線,直線M為∠ABC的角平分線,L與M相交于P點(diǎn).若∠A=60°,∠ACP=24°,則∠ABP的度數(shù)為何?( )
A.24 B.30 C.32 D.36
分析:根據(jù)角平分線的定義可得∠ABP=∠CBP,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BP=CP,再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠CBP=∠BCP,然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列出方程求解即可.
解:∵直線M為∠ABC的角平分線,
∴∠ABP=∠CBP.
∵直線L為BC的中垂線,
∴BP=CP,
∴∠CBP=∠BCP,
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP,
在△ABC中,3∠ABP+∠A+∠ACP=180°,
即3∠ABP+60°+24°=180°,
解得∠ABP=32°.
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì),角平分線的定義,三角形的內(nèi)角和定理,熟記各性質(zhì)并列出關(guān)于∠ABP的方程是解題的關(guān)鍵.
11. (2014•湖北宜昌,第6題3分)已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和8,則該三角形第三邊的長(zhǎng)可能是( )
A. 5 B. 10 C. 11 D. 12
考點(diǎn): 三角形三邊關(guān)系.
分析: 根據(jù)三角形的第三邊大于兩邊之差,而小于兩邊之和求得第三邊的取值范圍,再進(jìn)一步選擇.
解答: 解:根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,得
第三邊大于:8﹣3=5,而小于:3+8=11.
則此三角形的第三邊可能是:10.
故選:B.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了三角形的三邊關(guān)系,即三角形的第三邊大于兩邊之差,而小于兩邊之和,此題基礎(chǔ)題,比較簡(jiǎn)單.
12. (2014•河北,第3題2分)如圖,△ABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn).若DE=2,則BC=( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
考點(diǎn): 三角形中位線定理.
分析: 根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得BC=2DE.
解答: 解:∵D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),
∴DE是△ABC的中位線,
∴BC=2DE=2×2=4.
故選C.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半,熟記定理是解題的關(guān)鍵.
13、(2014•河北,第4題2分)如圖,平面上直線a,b分別過線段OK兩端點(diǎn)(數(shù)據(jù)如圖),則a,b相交所成的銳角是( )
A. 20° B. 30° C. 70° D. 80°
考點(diǎn): 三角形的外角性質(zhì)
分析: 根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.
解答: 解:a,b相交所成的銳角=100°﹣70°=30°.
故選B.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
14. (2014•隨州,第4題3分)如圖,在△ABC中,兩條中線BE、CD相交于點(diǎn)O,則S△DOE:S△COB=( )
A. 1:4 B. 2:3 C. 1:3 D. 1:2
考點(diǎn): 相似三角形的判定與性質(zhì);三角形中位線定理
分析: 根據(jù)三角形的中位線得出DE∥BC,DE= BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相似,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可.
解答: 解:∵BE和CD是△ABC的中線,
∴DE= BC,DE∥BC,
∴ = ,△DOE∞△COB,
∴ =( )2=( )2= ,
故選A.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,三角形的中位線的應(yīng)用,注意:相似三角形的面積比等于相似比的平方,三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半.
15. ( 2014•廣東,第9題3分)一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和7,則它的周長(zhǎng)為( )
A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17
考點(diǎn): 等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
分析: 由于未說明兩邊哪個(gè)是腰哪個(gè)是底,故需分:(1)當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?;(2)當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?;兩種情況討論,從而得到其周長(zhǎng).
解答: 解:①當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?,底為7時(shí),3+3<7不能構(gòu)成三角形;
②當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?,底為3時(shí),周長(zhǎng)為3+7+7=17.
故這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是17.
故選A.
點(diǎn)評(píng): 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì),在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論.
二、填空題
1. (2014•山東威海,第15題3分)直線l1∥l2,一塊含45°角的直角三角板如圖放置,∠1=85°,則∠2= 40° .
考點(diǎn): 平行線的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理
分析: 根據(jù)兩直線平行,同位角相等可得∠3=∠1,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠4,然后根據(jù)對(duì)頂角相等解答.
解答: 解:∵l1∥l2,
∴∠3=∠1=85°,
∴∠4=∠3﹣45°=85°﹣45°=40°,
∴∠2=∠4=40°.
故答案為:40°.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行線的性質(zhì),三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
2.(2014•湖南懷化,第15題,3分)如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,延長(zhǎng)BC到D,則∠ACD= 80 °.
考點(diǎn): 三角形的外角性質(zhì).
分析: 根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.
解答: 解:∵∠A=30°,∠B=50°,
∴∠ACD=∠A+∠B=30°+50°=80°.
故答案為:80.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和,熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
3. (2014•江蘇鹽城,第14題3分)如圖,A、B兩地間有一池塘阻隔,為測(cè)量A、B兩地的距離,在地面上選一點(diǎn)C,連接CA、CB的中點(diǎn)D、E.若DE的長(zhǎng)度為30m,則A、B兩地的距離為 60 m.
考點(diǎn): 三角形中位線定理.
專題: 應(yīng)用題.
分析: 根據(jù)三角形中位線求出AB=2DE,代入求出即可.
解答: 解:∵D、E分別是AC、BC的中點(diǎn),DE=30m,
∴AB=2DE=60m
故答案為:60.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了三角形的中位線的應(yīng)用,注意:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半.
4.(2014•廣州,第11題3分) 中,已知 , ,則 的外角的度數(shù)是_____.
【考點(diǎn)】三角形外角
【分析】本題主要考察三角形外角的計(jì)算, ,則 的外角為
【答案】
5.(2014•廣州,第12題3分)已知 是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為點(diǎn) , ,則PE的長(zhǎng)度為_____.
【考點(diǎn)】角平線的性質(zhì)
【分析】角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等.
【答案】10
6. ( 2014•福建泉州,第15題4分)如圖,在△ABC中,∠C=40°,CA=CB,則△ABC的外角∠ABD= 110 °.
考點(diǎn): 等腰三角形的性質(zhì).
分析: 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠A,再根據(jù)三角形的外角等于等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和,進(jìn)行計(jì)算即可.
解答: 解:∵CA=CB,
∴∠A=∠ABC,
∵∠C=40°,
∴∠A=70°
∴∠ABD=∠A+∠C=110°.
故答案為:110.
點(diǎn)評(píng): 此題考查了等腰三角形的性質(zhì),用到的知識(shí)點(diǎn)是等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角等于等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.
7. (2014•揚(yáng)州,第10題,3分)若等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為7cm和14cm,則它的周長(zhǎng)為 35 cm.
考點(diǎn): 等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
分析: 題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為7cm和14cm,而沒有明確腰、底分別是多少,所以要進(jìn)行討論,還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.
解答: 解:①14cm為腰,7cm為底,此時(shí)周長(zhǎng)為14+14+7=35cm;
②14cm為底,7cm為腰,則兩邊和等于第三邊無法構(gòu)成三角形,故舍去.
故其周長(zhǎng)是35cm.
故答案為35.
點(diǎn)評(píng): 此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系的掌握情況.已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況,分類進(jìn)行討論,還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答,這點(diǎn)非常重要,也是解題的關(guān)鍵.
8. (2014•揚(yáng)州,第15題,3分)如圖,以△ABC的邊BC為直徑的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)D、E,連結(jié)OD、OE,若∠A=65°,則∠DOE= 50° .
(第2題圖)
考點(diǎn): 圓的認(rèn)識(shí);三角形內(nèi)角和定理;等腰三角形的性質(zhì).
分析: 首先根據(jù)三角形內(nèi)角和求得∠B+∠C的度數(shù),然后求得其二倍,然后利用三角形的內(nèi)角和求得∠BOD+∠EOC,然后利用平角的性質(zhì)求得即可.
解答: 解:∵∠A=65°,
∴∠B+∠C=180°﹣65°=115°,
∴∠BDO=∠DBO,∠OEC=∠OCE,
∴∠BDO+∠DBO+∠OEC+∠OCE=2×115°=230°,
∴∠BOD+∠EOC=2×180°﹣230°=130°,
∴∠DOE=180°﹣130°=50°,
故答案為:50°.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了圓的認(rèn)識(shí)及三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí),難度不大.
9. (2014•樂山,第14題3分)如圖,在△ABC中,BC邊的中垂線交BC于D,交AB于E.若CE平分∠ACB,∠B=40°,則∠A= 60 度.
考點(diǎn): 線段垂直平分線的性質(zhì)..
分析: 根據(jù)線段垂直平分線得出BE=CE,推出∠B=∠BCE=40°,求出∠ACB=2∠BCE=80°,代入∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB求出即可.
解答: 解:∵DE是線段BC的垂直平分線,
∴BE=CE,
∴∠B=∠BCE=40°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠BCE=80°,
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=60°,
故答案為:60.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了等腰三角形性質(zhì),線段垂直平分線性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用,注意:線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
10.(2014•四川成都,第12題4分)如圖,為估計(jì)池塘岸邊A,B兩點(diǎn)間的距離,在池塘的一側(cè)選取點(diǎn)O,分別取OA,OB的中點(diǎn)M,N,測(cè)得MN=32m,則A,B兩點(diǎn)間的距離是 64 m.
考點(diǎn): 三角形中位線定理.
專題: 應(yīng)用題.
分析: 根據(jù)M、N是OA、OB的中點(diǎn),即MN是△OAB的中位線,根據(jù)三角形的中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半,即可求解.
解答: 解:∵M(jìn)、N是OA、OB的中點(diǎn),即MN是△OAB的中位線,
∴MN= AB,
∴AB=2CD=2×32=64(m).
故答案是:64.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了三角形的中位線定理應(yīng)用,正確理解定理是解題的關(guān)鍵.
11.(2014•隨州,第13題3分)將一副直角三角板如圖放置,使含30°角的三角板的直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合,則∠1的度數(shù)為 75 度.
考點(diǎn): 三角形內(nèi)角和定理;平行線的性質(zhì)
專題: 計(jì)算題;壓軸題.
分析: 根據(jù)三角形三內(nèi)角之和等于180°求解.
解答: 解:如圖.
∵∠3=60°,∠4=45°,
∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°.
故答案為:75.
點(diǎn)評(píng): 考查三角形內(nèi)角之和等于180°.
12、(2014•寧夏,第16題3分)如圖,將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上,用一個(gè)圓面去覆蓋△ABC,能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面的半徑是 .
考點(diǎn): 三角形的外接圓與外心
專題: 網(wǎng)格型.
分析: 根據(jù)題意得出△ABC的外接圓的圓心位置,進(jìn)而利用勾股定理得出能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面的半徑.
解答: 解:如圖所示:點(diǎn)O為△ABC外接圓圓心,則AO為外接圓半徑,
故能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面的半徑是: .
故答案為: .
點(diǎn)評(píng): 此題主要考查了三角形的外接圓與外心,得出外接圓圓心位置是解題關(guān)鍵.
三.解答題
1. (2014•益陽,第15題,6分)如圖,EF∥BC,AC平分∠BAF,∠B=80°.求∠C的度數(shù).
(第1題圖)
考點(diǎn): 平行線的性質(zhì).
分析: 根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠BAF,再根據(jù)角平分線的定義求出∠CAF,然后根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等解答.
解答: 解:∵EF∥BC,
∴∠BAF=180°﹣∠B=100°,
∵AC平分∠BAF,
∴∠CAF= ∠BAF=50°,
∵EF∥BC,
∴∠C=∠CAF=50°.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行線的性質(zhì),角平分線的定義,熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.
2. (2014•無錫,第22題8分)如圖,AB是半圓O的直徑,C、D是半圓O上的兩點(diǎn),且OD∥BC,OD與AC交于點(diǎn)E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度數(shù);
(2)若AB=4,AC=3,求DE的長(zhǎng).
考點(diǎn): 圓周角定理;平行線的性質(zhì);三角形中位線定理
分析: (1)根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=90°,則∠CAB的度數(shù)即可求得,在等腰△AOD中,根據(jù)等邊對(duì)等角求得∠DAO的度數(shù),則∠CAD即可求得;
(2)易證OE是△ABC的中位線,利用中位線定理求得OE的長(zhǎng),則DE即可求得.
解答: 解:(1)∵AB是半圓O的直徑,
∴∠ACB=90°,
又∵OD∥BC,
∴∠AEO=90°,即OE⊥AC,∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°.
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO= = =55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°;
(2)在直角△ABC中,BC= = = .
∵OE⊥AC,
∴AE=EC,
又∵OA=OB,
∴OE= BC= .
又∵OD= AB=2,
∴DE=OD﹣OE=2﹣ .
點(diǎn)評(píng): 本題考查了圓周角定理以及三角形的中位線定理,正確證明OE是△ABC的中位線是關(guān)鍵.
一、選擇題
1. (2014•山東威海,第9題3分)如圖,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點(diǎn)D,連接AD,下列結(jié)論中不正確的是( )
A. ∠BAC=70° B. ∠DOC=90° C. ∠BDC=35° D. ∠DAC=55°
考點(diǎn): 角平分線的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理
分析: 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求出∠BAC=70°,再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABO,然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠AOB再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠DOC=∠AOB,根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和角平分線的定義求出∠DCO,再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可∠BDC,判斷出AD為三角形的外角平分線,然后列式計(jì)算即可求出∠DAC.
解答: 解:∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°,故A選項(xiàng)結(jié)論正確,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°,
在△ABO中,∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°,
∴∠DOC=∠AOB=85°,故B選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤;
∵CD平分∠ACE,
∴∠ACD=(180°﹣60°)=60°,
∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°,故C選項(xiàng)結(jié)論正確;
∵BD、CD分別是∠ABC和∠ACE的平分線,
∴AD是△ABC的外角平分線,
∴∠DAC=(180°﹣70°)=55°,故D選項(xiàng)結(jié)論正確.
故選B.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了角平分線的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,角平分線的定義,熟記定理和概念是解題的關(guān)鍵.
2. (2014•山東臨沂,第3題3分)如圖,已知l1∥l2,∠A=40°,∠1=60°,則∠2的度數(shù)為( )
A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
考點(diǎn): 平行線的性質(zhì);三角形的外角性質(zhì).
分析: 根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠3=∠1,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.
解答: 解:∵l1∥l2,
∴∠3=∠1=60°,
∴∠2=∠A+∠3=40°+60°=100°.
故選D.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行線的性質(zhì),三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì),熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.
3. (2014•江蘇蘇州,第6題3分)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,則∠C的度數(shù)為( )
A. 30° B. 40° C. 45° D. 60°
考點(diǎn): 等腰三角形的性質(zhì)
分析: 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADB的度數(shù),再由平角的定義得出∠ADC的度數(shù),根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
解答: 解:∵△ABD中,AB=AD,∠B=80°,
∴∠B=∠ADB=80°,
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°,
∵AD=CD,
∴∠C= = =40°.
故選B.
點(diǎn)評(píng): 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì),熟知等腰三角形的兩底角相等是解答此題的關(guān)鍵.
4.(2014•福建福州,第6題4分)下列命題中,假命題是【 】
A.對(duì)頂角相等 B.三角形兩邊和小于第三邊
C.菱形的四條邊都相等 D.多邊形的內(nèi)角和等于360°
5.(2014•臺(tái)灣,第20題3分)如圖,有一△ABC,今以B為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫弧,交BC于D點(diǎn),以C為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫弧,交BC于E點(diǎn).若∠B=40°,∠C=36°,則關(guān)于AD、AE、BE、CD的大小關(guān)系,下列何者正確?( )
A.AD=AE B.AE
分析:由∠C<∠B利用大角對(duì)大邊得到AB
解:∵∠C<∠B,
∴AB
即BE+ED
∴BE
故選D.
點(diǎn)評(píng):考查了三角形的三邊關(guān)系,解題的關(guān)鍵是正確的理解題意,了解大邊對(duì)大角.
6.(2014•云南昆明,第5題3分)如圖,在△ABC中,∠A=50°,∠ABC=70°,BD平分∠ABC,則∠BDC的度數(shù)是( )
A. 85° B. 80°
C. 75° D. 70°
考點(diǎn): 角平分線的性質(zhì),三角形外角性質(zhì).
分析: 首先角平分線的性質(zhì)求得 的度數(shù),然后利用三角形外角性質(zhì)求得∠BDC的度數(shù)即可.
解答: 解: ∠ABC=70°,BD平分∠ABC
∠A=50°
∠BDC
故選A.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了三角形角平分線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì).,屬于基礎(chǔ)題,比較簡(jiǎn)單.
7. (2014•泰州,第6題,3分)如果三角形滿足一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍,那么我們稱這個(gè)三角形為“智慧三角形”.下列各組數(shù)據(jù)中,能作為一個(gè)智慧三角形三邊長(zhǎng)的一組是( )
A. 1,2,3 B. 1,1, C. 1,1, D. 1,2,
考點(diǎn): 解直角三角形
專題: 新定義.
分析: A、根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知,不能構(gòu)成三角形,依此即可作出判定;
B、根據(jù)勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形,依此即可作出判定;
C、解直角三角形可知是頂角120°,底角30°的等腰三角形,依此即可作出判定;
D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別是90°,60°,30°的直角三角形,依此即可作出判定.
解答: 解:A、∵1+2=3,不能構(gòu)成三角形,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、∵12+12=( )2,是等腰直角三角形,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、底邊上的高是 = ,可知是頂角120°,底角30°的等腰三角形,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別是90°,60°,30°的直角三角形,其中90°÷30°=3,符合“智慧三角形”的定義,故選項(xiàng)正確.
故選:D.
點(diǎn)評(píng): 考查了解直角三角形,涉及三角形三邊關(guān)系,勾股定理的逆定理,等腰直角三角形的判定,“智慧三角形”的概念.
8. ( 2014•廣西玉林市、防城港市,第10題3分)在等腰△ABC中,AB=AC,其周長(zhǎng)為20cm,則AB邊的取值范圍是( )
A. 1cm
考點(diǎn): 等腰三角形的性質(zhì);解一元一次不等式組;三角形三邊關(guān)系.
分析: 設(shè)AB=AC=x,則BC=20﹣2x,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論.
解答: 解:∵在等腰△ABC中,AB=AC,其周長(zhǎng)為20cm,
∴設(shè)AB=AC=xcm,則BC=(20﹣2x)cm,
∴ ,
解得5cm
故選B.
點(diǎn)評(píng): 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì),熟知等腰三角形的兩腰相等是解答此題的關(guān)鍵.
9. (2014•湖南邵陽,第5題3分)如圖,在△ABC中,∠B=46°,∠C=54°,AD平分∠BAC,交BC于D,DE∥AB,交AC于E,則∠ADE的大小是( )
A. 45° B. 54° C. 40° D. 50°
考點(diǎn): 平行線的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理
分析: 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC,再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD,然后根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ADE=∠BAD.
解答: 解:∵∠B=46°,∠C=54°,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD= ∠BAC= ×80°=40°,
∵DE∥AB,
∴∠ADE=∠BAD=40°.
故選C.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行線的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,角平分線的定義,熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵.
10.(2014•臺(tái)灣,第18題3分)如圖,銳角三角形ABC中,直線L為BC的中垂線,直線M為∠ABC的角平分線,L與M相交于P點(diǎn).若∠A=60°,∠ACP=24°,則∠ABP的度數(shù)為何?( )
A.24 B.30 C.32 D.36
分析:根據(jù)角平分線的定義可得∠ABP=∠CBP,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BP=CP,再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠CBP=∠BCP,然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列出方程求解即可.
解:∵直線M為∠ABC的角平分線,
∴∠ABP=∠CBP.
∵直線L為BC的中垂線,
∴BP=CP,
∴∠CBP=∠BCP,
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP,
在△ABC中,3∠ABP+∠A+∠ACP=180°,
即3∠ABP+60°+24°=180°,
解得∠ABP=32°.
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì),角平分線的定義,三角形的內(nèi)角和定理,熟記各性質(zhì)并列出關(guān)于∠ABP的方程是解題的關(guān)鍵.
11. (2014•湖北宜昌,第6題3分)已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和8,則該三角形第三邊的長(zhǎng)可能是( )
A. 5 B. 10 C. 11 D. 12
考點(diǎn): 三角形三邊關(guān)系.
分析: 根據(jù)三角形的第三邊大于兩邊之差,而小于兩邊之和求得第三邊的取值范圍,再進(jìn)一步選擇.
解答: 解:根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,得
第三邊大于:8﹣3=5,而小于:3+8=11.
則此三角形的第三邊可能是:10.
故選:B.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了三角形的三邊關(guān)系,即三角形的第三邊大于兩邊之差,而小于兩邊之和,此題基礎(chǔ)題,比較簡(jiǎn)單.
12. (2014•河北,第3題2分)如圖,△ABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn).若DE=2,則BC=( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
考點(diǎn): 三角形中位線定理.
分析: 根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得BC=2DE.
解答: 解:∵D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),
∴DE是△ABC的中位線,
∴BC=2DE=2×2=4.
故選C.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半,熟記定理是解題的關(guān)鍵.
13、(2014•河北,第4題2分)如圖,平面上直線a,b分別過線段OK兩端點(diǎn)(數(shù)據(jù)如圖),則a,b相交所成的銳角是( )
A. 20° B. 30° C. 70° D. 80°
考點(diǎn): 三角形的外角性質(zhì)
分析: 根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.
解答: 解:a,b相交所成的銳角=100°﹣70°=30°.
故選B.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
14. (2014•隨州,第4題3分)如圖,在△ABC中,兩條中線BE、CD相交于點(diǎn)O,則S△DOE:S△COB=( )
A. 1:4 B. 2:3 C. 1:3 D. 1:2
考點(diǎn): 相似三角形的判定與性質(zhì);三角形中位線定理
分析: 根據(jù)三角形的中位線得出DE∥BC,DE= BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相似,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可.
解答: 解:∵BE和CD是△ABC的中線,
∴DE= BC,DE∥BC,
∴ = ,△DOE∞△COB,
∴ =( )2=( )2= ,
故選A.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,三角形的中位線的應(yīng)用,注意:相似三角形的面積比等于相似比的平方,三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半.
15. ( 2014•廣東,第9題3分)一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和7,則它的周長(zhǎng)為( )
A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17
考點(diǎn): 等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
分析: 由于未說明兩邊哪個(gè)是腰哪個(gè)是底,故需分:(1)當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?;(2)當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?;兩種情況討論,從而得到其周長(zhǎng).
解答: 解:①當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?,底為7時(shí),3+3<7不能構(gòu)成三角形;
②當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?,底為3時(shí),周長(zhǎng)為3+7+7=17.
故這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是17.
故選A.
點(diǎn)評(píng): 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì),在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論.
二、填空題
1. (2014•山東威海,第15題3分)直線l1∥l2,一塊含45°角的直角三角板如圖放置,∠1=85°,則∠2= 40° .
考點(diǎn): 平行線的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理
分析: 根據(jù)兩直線平行,同位角相等可得∠3=∠1,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠4,然后根據(jù)對(duì)頂角相等解答.
解答: 解:∵l1∥l2,
∴∠3=∠1=85°,
∴∠4=∠3﹣45°=85°﹣45°=40°,
∴∠2=∠4=40°.
故答案為:40°.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行線的性質(zhì),三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
2.(2014•湖南懷化,第15題,3分)如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,延長(zhǎng)BC到D,則∠ACD= 80 °.
考點(diǎn): 三角形的外角性質(zhì).
分析: 根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.
解答: 解:∵∠A=30°,∠B=50°,
∴∠ACD=∠A+∠B=30°+50°=80°.
故答案為:80.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和,熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
3. (2014•江蘇鹽城,第14題3分)如圖,A、B兩地間有一池塘阻隔,為測(cè)量A、B兩地的距離,在地面上選一點(diǎn)C,連接CA、CB的中點(diǎn)D、E.若DE的長(zhǎng)度為30m,則A、B兩地的距離為 60 m.
考點(diǎn): 三角形中位線定理.
專題: 應(yīng)用題.
分析: 根據(jù)三角形中位線求出AB=2DE,代入求出即可.
解答: 解:∵D、E分別是AC、BC的中點(diǎn),DE=30m,
∴AB=2DE=60m
故答案為:60.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了三角形的中位線的應(yīng)用,注意:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半.
4.(2014•廣州,第11題3分) 中,已知 , ,則 的外角的度數(shù)是_____.
【考點(diǎn)】三角形外角
【分析】本題主要考察三角形外角的計(jì)算, ,則 的外角為
【答案】
5.(2014•廣州,第12題3分)已知 是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為點(diǎn) , ,則PE的長(zhǎng)度為_____.
【考點(diǎn)】角平線的性質(zhì)
【分析】角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等.
【答案】10
6. ( 2014•福建泉州,第15題4分)如圖,在△ABC中,∠C=40°,CA=CB,則△ABC的外角∠ABD= 110 °.
考點(diǎn): 等腰三角形的性質(zhì).
分析: 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠A,再根據(jù)三角形的外角等于等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和,進(jìn)行計(jì)算即可.
解答: 解:∵CA=CB,
∴∠A=∠ABC,
∵∠C=40°,
∴∠A=70°
∴∠ABD=∠A+∠C=110°.
故答案為:110.
點(diǎn)評(píng): 此題考查了等腰三角形的性質(zhì),用到的知識(shí)點(diǎn)是等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角等于等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.
7. (2014•揚(yáng)州,第10題,3分)若等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為7cm和14cm,則它的周長(zhǎng)為 35 cm.
考點(diǎn): 等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
分析: 題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為7cm和14cm,而沒有明確腰、底分別是多少,所以要進(jìn)行討論,還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.
解答: 解:①14cm為腰,7cm為底,此時(shí)周長(zhǎng)為14+14+7=35cm;
②14cm為底,7cm為腰,則兩邊和等于第三邊無法構(gòu)成三角形,故舍去.
故其周長(zhǎng)是35cm.
故答案為35.
點(diǎn)評(píng): 此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系的掌握情況.已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況,分類進(jìn)行討論,還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答,這點(diǎn)非常重要,也是解題的關(guān)鍵.
8. (2014•揚(yáng)州,第15題,3分)如圖,以△ABC的邊BC為直徑的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)D、E,連結(jié)OD、OE,若∠A=65°,則∠DOE= 50° .
(第2題圖)
考點(diǎn): 圓的認(rèn)識(shí);三角形內(nèi)角和定理;等腰三角形的性質(zhì).
分析: 首先根據(jù)三角形內(nèi)角和求得∠B+∠C的度數(shù),然后求得其二倍,然后利用三角形的內(nèi)角和求得∠BOD+∠EOC,然后利用平角的性質(zhì)求得即可.
解答: 解:∵∠A=65°,
∴∠B+∠C=180°﹣65°=115°,
∴∠BDO=∠DBO,∠OEC=∠OCE,
∴∠BDO+∠DBO+∠OEC+∠OCE=2×115°=230°,
∴∠BOD+∠EOC=2×180°﹣230°=130°,
∴∠DOE=180°﹣130°=50°,
故答案為:50°.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了圓的認(rèn)識(shí)及三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí),難度不大.
9. (2014•樂山,第14題3分)如圖,在△ABC中,BC邊的中垂線交BC于D,交AB于E.若CE平分∠ACB,∠B=40°,則∠A= 60 度.
考點(diǎn): 線段垂直平分線的性質(zhì)..
分析: 根據(jù)線段垂直平分線得出BE=CE,推出∠B=∠BCE=40°,求出∠ACB=2∠BCE=80°,代入∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB求出即可.
解答: 解:∵DE是線段BC的垂直平分線,
∴BE=CE,
∴∠B=∠BCE=40°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠BCE=80°,
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=60°,
故答案為:60.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了等腰三角形性質(zhì),線段垂直平分線性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用,注意:線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
10.(2014•四川成都,第12題4分)如圖,為估計(jì)池塘岸邊A,B兩點(diǎn)間的距離,在池塘的一側(cè)選取點(diǎn)O,分別取OA,OB的中點(diǎn)M,N,測(cè)得MN=32m,則A,B兩點(diǎn)間的距離是 64 m.
考點(diǎn): 三角形中位線定理.
專題: 應(yīng)用題.
分析: 根據(jù)M、N是OA、OB的中點(diǎn),即MN是△OAB的中位線,根據(jù)三角形的中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半,即可求解.
解答: 解:∵M(jìn)、N是OA、OB的中點(diǎn),即MN是△OAB的中位線,
∴MN= AB,
∴AB=2CD=2×32=64(m).
故答案是:64.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了三角形的中位線定理應(yīng)用,正確理解定理是解題的關(guān)鍵.
11.(2014•隨州,第13題3分)將一副直角三角板如圖放置,使含30°角的三角板的直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合,則∠1的度數(shù)為 75 度.
考點(diǎn): 三角形內(nèi)角和定理;平行線的性質(zhì)
專題: 計(jì)算題;壓軸題.
分析: 根據(jù)三角形三內(nèi)角之和等于180°求解.
解答: 解:如圖.
∵∠3=60°,∠4=45°,
∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°.
故答案為:75.
點(diǎn)評(píng): 考查三角形內(nèi)角之和等于180°.
12、(2014•寧夏,第16題3分)如圖,將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上,用一個(gè)圓面去覆蓋△ABC,能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面的半徑是 .
考點(diǎn): 三角形的外接圓與外心
專題: 網(wǎng)格型.
分析: 根據(jù)題意得出△ABC的外接圓的圓心位置,進(jìn)而利用勾股定理得出能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面的半徑.
解答: 解:如圖所示:點(diǎn)O為△ABC外接圓圓心,則AO為外接圓半徑,
故能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面的半徑是: .
故答案為: .
點(diǎn)評(píng): 此題主要考查了三角形的外接圓與外心,得出外接圓圓心位置是解題關(guān)鍵.
三.解答題
1. (2014•益陽,第15題,6分)如圖,EF∥BC,AC平分∠BAF,∠B=80°.求∠C的度數(shù).
(第1題圖)
考點(diǎn): 平行線的性質(zhì).
分析: 根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠BAF,再根據(jù)角平分線的定義求出∠CAF,然后根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等解答.
解答: 解:∵EF∥BC,
∴∠BAF=180°﹣∠B=100°,
∵AC平分∠BAF,
∴∠CAF= ∠BAF=50°,
∵EF∥BC,
∴∠C=∠CAF=50°.
點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行線的性質(zhì),角平分線的定義,熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.
2. (2014•無錫,第22題8分)如圖,AB是半圓O的直徑,C、D是半圓O上的兩點(diǎn),且OD∥BC,OD與AC交于點(diǎn)E.
(1)若∠B=70°,求∠CAD的度數(shù);
(2)若AB=4,AC=3,求DE的長(zhǎng).
考點(diǎn): 圓周角定理;平行線的性質(zhì);三角形中位線定理
分析: (1)根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=90°,則∠CAB的度數(shù)即可求得,在等腰△AOD中,根據(jù)等邊對(duì)等角求得∠DAO的度數(shù),則∠CAD即可求得;
(2)易證OE是△ABC的中位線,利用中位線定理求得OE的長(zhǎng),則DE即可求得.
解答: 解:(1)∵AB是半圓O的直徑,
∴∠ACB=90°,
又∵OD∥BC,
∴∠AEO=90°,即OE⊥AC,∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°.
∵OA=OD,
∴∠DAO=∠ADO= = =55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°;
(2)在直角△ABC中,BC= = = .
∵OE⊥AC,
∴AE=EC,
又∵OA=OB,
∴OE= BC= .
又∵OD= AB=2,
∴DE=OD﹣OE=2﹣ .
點(diǎn)評(píng): 本題考查了圓周角定理以及三角形的中位線定理,正確證明OE是△ABC的中位線是關(guān)鍵.