一、選擇題
1.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且f(a)•f(b)<0則方程f(x)=0在區(qū)間[a，b]上( )
A.至少有一實根 B.至多有一實根
C.沒有實根 D.必有的實根
[答案] D
2.已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x、f(x)對應(yīng)值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 123.56 21.45 -7.82 11.57 -53.76 -126.49
函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有( )
A.2個 B.3個
C.4個 D.5個
[答案] B
3.(2013～2014山東淄博一中高一期中試題)對于函數(shù)f(x)=x2+mx+n，若f(a)>0，f(b)>0，則f(x)在(a，b)上( )
A.一定有零點 B.可能有兩個零點
C.一定有沒有零點 D.至少有一個零點
[答案] B
[解析] 若f(x)的圖象如圖所示否定C、D
若f(x)的圖象與x軸無交點，滿足f(a)>0，f(b)>0，則否定A，故選B.
4.下列函數(shù)中，在[1,2]上有零點的是( )
A.f(x)=3x2-4x+5 B.f(x)=x3-5x-5
C.f(x)=lnx-3x+6 D.f(x)=ex+3x-6
[答案] D
[解析] A：3x2-4x+5=0的判別式Δ<0，
∴此方程無實數(shù)根，∴f(x)=3x2-4x+5在[1,2]上無零點.
B：由f(x)=x3-5x-5=0得x3=5x+5.
在同一坐標(biāo)系中畫出y=x3，x∈[1,2]與y=5x+5，x∈[1,2]的圖象，如圖1，兩個圖象沒有交點.
∴f(x)=0在[1,2]上無零點.
C：由f(x)=0得lnx=3x-6，在同一坐標(biāo)系中畫出y=lnx與y=3x-6的圖象，如圖2所示，由圖象知兩個函數(shù)圖象在[1,2]內(nèi)沒有交點，因而方程f(x)=0在[1,2]內(nèi)沒有零點.
D：∵f(1)=e+3×1-6=e-3<0，f(2)=e2>0，
∴f(1)•f(2)<0.
∴f(x)在[1,2]內(nèi)有零點.
5.若函數(shù)f(x)=x2-ax+b的兩個零點是2和3，則函數(shù)g(x)=bx2-ax-1的零點是( )
A.-1和16 B.1和-16
C.12和13 D.-12和-13
[答案] B
[解析] 由于f(x)=x2-ax+b有兩個零點2和3，
∴a=5，b=6.∴g(x)=6x2-5x-1有兩個零點1和-16.
6.(2010•福建理，4)函數(shù)f(x)=x2+2x-3，x≤0-2+lnx，x>0的零點個數(shù)為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] C
[解析] 令x2+2x-3=0，∴x=-3或1;
∵x≤0，∴x=-3;令-2+lnx=0，∴l(xiāng)nx=2，
∴x=e2>0，故函數(shù)f(x)有兩個零點.二、填空題
7.已知函數(shù)f(x)=x+m的零點是2，則2m=________.
[答案] 14
[解析] ∵f(x)的零點是2，∴f(2)=0.
∴2+m=0，解得m=-2.∴2m=2-2=14.
8.函數(shù)f(x)=2x2-x-1，x≤0，3x-4，x>0的零點的個數(shù)為________.
[答案] 2
[解析] 當(dāng)x≤0時，令2x2-x-1=0，解得x=-12(x=1舍去);當(dāng)x>0時，令3x-4=0，解得x=log34，所以函數(shù)f(x)=2x2-x-1，x≤0，3x-4，x>0有2個零點.
9.對于方程x3+x2-2x-1=0，有下列判斷：
①在(-2，-1)內(nèi)有實數(shù)根;
②在(-1,0)內(nèi)有實數(shù)根;
③在(1,2)內(nèi)有實數(shù)根;
④在(-∞，+∞)內(nèi)沒有實數(shù)根.
其中正確的有________.(填序號)
[答案] ①②③
[解析] 設(shè)f(x)=x3+x2-2x-1，則f(-2)=-1<0，
f(-1)=1>0，
f(0)=-1<0，f(1)=-1<0，f(2)=7>0，
則f(x)在(-2，-1)，(-1,0)，(1,2)內(nèi)均有零點，即①②③正確.
三、解答題
10.已知函數(shù)f(x)=2x-x2，問方程f(x)=0在區(qū)間[-1,0]內(nèi)是否有解，為什么?
[解析] 因為f(-1)=2-1-(-1)2=-12<0，
f(0)=20-02=1>0，
而函數(shù)f(x)=2x-x2的圖象是連續(xù)曲線，
所以f(x)在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有零點，即方程f(x)=0在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有解.
11.判斷下列函數(shù)是否存在零點，如果存在，請求出.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=x2+x+2;
(3)f(x)=x2+4x-12x-2;
(4)f(x)=3x+1-7;
(5)f(x)=log5(2x-3).
[解析] (1)因為f(x)=-8x2+7x+1=-(8x+1)(x-1)，令f(x)=0，解得x=-18或x=1，所以函數(shù)的零點為-18和1.
(2)令x2+x+2=0，因為Δ=12-4×1×2=-7<0，所以方程無實數(shù)根，所以f(x)=x2+x+2不存在零點.
(3)因為f(x)=x2+4x-12x-2=x+6x-2x-2，令x+6x-2x-2=0，解得x=-6，所以函數(shù)的零點為-6.
(4)令3x+1-7=0，解得x=log373，所以函數(shù)的零點為log373.
(5)令log5(2x-3)=0，解得x=2，所以函數(shù)的零點為2.
12.(2013～2014北京高一檢測)已知二次函數(shù)y=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3)有兩個零點，一個大于1，一個小于1，求實數(shù)m的取值范圍.
[解析] 設(shè)f(x)=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3)，如圖，有兩種情況.第一種情況，m+2>0，f1<0，解得-2
第二種情況，m+2<0，f1>0，此不等式組無解.
綜上，m的取值范圍是-2
1.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且f(a)•f(b)<0則方程f(x)=0在區(qū)間[a，b]上( )
A.至少有一實根 B.至多有一實根
C.沒有實根 D.必有的實根
[答案] D
2.已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x、f(x)對應(yīng)值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 123.56 21.45 -7.82 11.57 -53.76 -126.49
函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有( )
A.2個 B.3個
C.4個 D.5個
[答案] B
3.(2013～2014山東淄博一中高一期中試題)對于函數(shù)f(x)=x2+mx+n，若f(a)>0，f(b)>0，則f(x)在(a，b)上( )
A.一定有零點 B.可能有兩個零點
C.一定有沒有零點 D.至少有一個零點
[答案] B
[解析] 若f(x)的圖象如圖所示否定C、D
若f(x)的圖象與x軸無交點，滿足f(a)>0，f(b)>0，則否定A，故選B.
4.下列函數(shù)中，在[1,2]上有零點的是( )
A.f(x)=3x2-4x+5 B.f(x)=x3-5x-5
C.f(x)=lnx-3x+6 D.f(x)=ex+3x-6
[答案] D
[解析] A：3x2-4x+5=0的判別式Δ<0，
∴此方程無實數(shù)根，∴f(x)=3x2-4x+5在[1,2]上無零點.
B：由f(x)=x3-5x-5=0得x3=5x+5.
在同一坐標(biāo)系中畫出y=x3，x∈[1,2]與y=5x+5，x∈[1,2]的圖象，如圖1，兩個圖象沒有交點.
∴f(x)=0在[1,2]上無零點.
C：由f(x)=0得lnx=3x-6，在同一坐標(biāo)系中畫出y=lnx與y=3x-6的圖象，如圖2所示，由圖象知兩個函數(shù)圖象在[1,2]內(nèi)沒有交點，因而方程f(x)=0在[1,2]內(nèi)沒有零點.
D：∵f(1)=e+3×1-6=e-3<0，f(2)=e2>0，
∴f(1)•f(2)<0.
∴f(x)在[1,2]內(nèi)有零點.
5.若函數(shù)f(x)=x2-ax+b的兩個零點是2和3，則函數(shù)g(x)=bx2-ax-1的零點是( )
A.-1和16 B.1和-16
C.12和13 D.-12和-13
[答案] B
[解析] 由于f(x)=x2-ax+b有兩個零點2和3，
∴a=5，b=6.∴g(x)=6x2-5x-1有兩個零點1和-16.
6.(2010•福建理，4)函數(shù)f(x)=x2+2x-3，x≤0-2+lnx，x>0的零點個數(shù)為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] C
[解析] 令x2+2x-3=0，∴x=-3或1;
∵x≤0，∴x=-3;令-2+lnx=0，∴l(xiāng)nx=2，
∴x=e2>0，故函數(shù)f(x)有兩個零點.二、填空題
7.已知函數(shù)f(x)=x+m的零點是2，則2m=________.
[答案] 14
[解析] ∵f(x)的零點是2，∴f(2)=0.
∴2+m=0，解得m=-2.∴2m=2-2=14.
8.函數(shù)f(x)=2x2-x-1，x≤0，3x-4，x>0的零點的個數(shù)為________.
[答案] 2
[解析] 當(dāng)x≤0時，令2x2-x-1=0，解得x=-12(x=1舍去);當(dāng)x>0時，令3x-4=0，解得x=log34，所以函數(shù)f(x)=2x2-x-1，x≤0，3x-4，x>0有2個零點.
9.對于方程x3+x2-2x-1=0，有下列判斷：
①在(-2，-1)內(nèi)有實數(shù)根;
②在(-1,0)內(nèi)有實數(shù)根;
③在(1,2)內(nèi)有實數(shù)根;
④在(-∞，+∞)內(nèi)沒有實數(shù)根.
其中正確的有________.(填序號)
[答案] ①②③
[解析] 設(shè)f(x)=x3+x2-2x-1，則f(-2)=-1<0，
f(-1)=1>0，
f(0)=-1<0，f(1)=-1<0，f(2)=7>0，
則f(x)在(-2，-1)，(-1,0)，(1,2)內(nèi)均有零點，即①②③正確.
三、解答題
10.已知函數(shù)f(x)=2x-x2，問方程f(x)=0在區(qū)間[-1,0]內(nèi)是否有解，為什么?
[解析] 因為f(-1)=2-1-(-1)2=-12<0，
f(0)=20-02=1>0，
而函數(shù)f(x)=2x-x2的圖象是連續(xù)曲線，
所以f(x)在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有零點，即方程f(x)=0在區(qū)間[-1,0]內(nèi)有解.
11.判斷下列函數(shù)是否存在零點，如果存在，請求出.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=x2+x+2;
(3)f(x)=x2+4x-12x-2;
(4)f(x)=3x+1-7;
(5)f(x)=log5(2x-3).
[解析] (1)因為f(x)=-8x2+7x+1=-(8x+1)(x-1)，令f(x)=0，解得x=-18或x=1，所以函數(shù)的零點為-18和1.
(2)令x2+x+2=0，因為Δ=12-4×1×2=-7<0，所以方程無實數(shù)根，所以f(x)=x2+x+2不存在零點.
(3)因為f(x)=x2+4x-12x-2=x+6x-2x-2，令x+6x-2x-2=0，解得x=-6，所以函數(shù)的零點為-6.
(4)令3x+1-7=0，解得x=log373，所以函數(shù)的零點為log373.
(5)令log5(2x-3)=0，解得x=2，所以函數(shù)的零點為2.
12.(2013～2014北京高一檢測)已知二次函數(shù)y=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3)有兩個零點，一個大于1，一個小于1，求實數(shù)m的取值范圍.
[解析] 設(shè)f(x)=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3)，如圖，有兩種情況.第一種情況，m+2>0，f1<0，解得-2
第二種情況，m+2<0，f1>0，此不等式組無解.
綜上，m的取值范圍是-2