一、非標(biāo)準(zhǔn)
1.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ,求直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng).
2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若l:(t為參數(shù))過(guò)橢圓C:(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn),求常數(shù)a的值.
3.在極坐標(biāo)系中,求圓ρ=4sinθ的圓心到直線(xiàn)θ=(ρR)的距離.
4.在極坐標(biāo)系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲線(xiàn)ρ=2sinθ與ρcosθ=-1的交點(diǎn)的極坐標(biāo).
5.(2014江蘇,21)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),求線(xiàn)段AB的長(zhǎng).
6.(2014課標(biāo)全國(guó),文23)已知曲線(xiàn)C:=1,直線(xiàn)l:(t為參數(shù)).
(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)C的參數(shù)方程,直線(xiàn)l的普通方程;
(2)過(guò)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線(xiàn),交l于點(diǎn)A,求|PA|的大值與小值.
7.在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C:(α為參數(shù))交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程.
8.在直角坐標(biāo)平面內(nèi),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ,直線(xiàn)l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),M,N分別為曲線(xiàn)C,直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn),求|MN|的小值.
9.在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中,圓ρ=4sinθ和直線(xiàn)ρsinθ=a相交于A,B兩點(diǎn),若AOB是等邊三角形,求a的值.
10.(2014課標(biāo)全國(guó),文23)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ,θ.
(1)求C的參數(shù)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)D在C上,C在D處的切線(xiàn)與直線(xiàn)l:y=x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo).
一、非標(biāo)準(zhǔn)
1.解:令f(x)=|2x-1|+|x+2|=可求得f(x)的小值為,故原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為a2+a+2≤恒成立,即a2+≤0,
即(a+1)≤0,
解得a.
2.解:|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,當(dāng)且僅當(dāng)0≤x≤1時(shí)取等號(hào),
|y|+|y-1|≥|y-(y-1)|=1,當(dāng)且僅當(dāng)0≤y≤1時(shí)取等號(hào),
|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≥2.①
又|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,②
∴只有當(dāng)0≤x≤1,0≤y≤1時(shí),兩式同時(shí)成立.
0≤x+y≤2.
3.解:由|1+a|-|1-a|≤2,
得|x|+|x-1|≥2.
當(dāng)x<0時(shí),-x+1-x≥2,x≤-.
當(dāng)0≤x≤1時(shí),x+1-x≥2,無(wú)解.
當(dāng)x>1時(shí),x+x-1≥2,x≥.
綜上,x≤-或x≥.
4.解:函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方,即|x-2|>-|x+3|+m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,
即|x-2|+|x+3|>m恒成立.
因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,所以m<5,即m的取值范圍是(-∞,5).
5.解法一:由于(x+y+z)
≥
=36.
所以≥36,小值為36.
當(dāng)且僅當(dāng)x2=y2=z2,
即x=,y=,z=時(shí),等號(hào)成立.
解法二:
=(x+y+z)+(x+y+z)+(x+y+z)
=14+≥14+4+6+12=36.小值為36.
當(dāng)且僅當(dāng)y=2x,z=3x,即x=,y=,z=時(shí),等號(hào)成立.
6.證明:因?yàn)閤>0,y>0,
所以1+x+y2≥3>0,
1+x2+y≥3>0,
故(1+x+y2)(1+x2+y)
≥3·3=9xy.
7.解法一:(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx≤3(x2+y2+z2),
∴a2+4b2+9c2
≥(a+2b+3c)2==12.
∴a2+4b2+9c2的小值為12.
解法二:由柯西不等式,
得(a2+4b2+9c2)·(12+12+12)
≥(a·1+2b·1+3c·1)2=36,
故a2+4b2+9c2≥12,
從而a2+4b2+9c2的小值為12.
8.解:利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求解.
|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,
要使|x-a|+|x-1|≤3有解,
可使|a-1|≤3,-3≤a-1≤3,
∴-2≤a≤4.
9.解:(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)=|x-1|+|x-2|-5,則g(x)=
令g(x)>0,則x<-1或x>4,
原不等式的解集為(-∞,-1)(4,+∞).
(2)∵f(x)+a=|x+a|+|x-2|+a≥|a+2|+a,
又關(guān)于x的不等式f(x)+a<2014的解集是非空集合,
|a+2|+a<2014,解得a<1006.
10.解:(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,
解得a-3≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},
所以解得a=2.
(2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|x-2|,
設(shè)g(x)=f(x)+f(x+5),
于是g(x)=|x-2|+|x+3|
=
所以當(dāng)x<-3時(shí),g(x)>5;
當(dāng)-3≤x≤2時(shí),g(x)=5;
當(dāng)x>2時(shí),g(x)>5.
綜上可得,g(x)的小值為5.
從而若f(x)+f(x+5)≥m,
即g(x)≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,則m的取值范圍為(-∞,5].