2016年開(kāi)封市高考數(shù)學(xué)模擬試題（理科）

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    開(kāi)封市2016屆高三定位模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題及答案
    選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
    1. 設(shè)集合

，則

等于 A
A．

B．

C．

D．

2. 若復(fù)數(shù)Z

，

是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)Z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 C
A．（0，2） B．（0，3i ） C．（0，3） D．（0，

）
3. 下列命題正確的是 D
A．已知

;
B．存在實(shí)數(shù)

，使

成立;
C．命題

：對(duì)任意的

，則

：對(duì)任意的

;
D．若

或

為假命題,則

均為假命題
4. 把函數(shù)

圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

倍（縱坐標(biāo)不變），再將圖象向右平移

個(gè)單位，那么所得圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為 D
A．

B．

C．

D．

5. 某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于 C

A.10 B.15 C.20 D.30
開(kāi)封市2016屆高三定位模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題及答案

、
    6. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S的值為 C
    A.3 B. -6 C. 10 D. 12
    8.

中，點(diǎn)

在

上，

平方

．若

，

，則

B
A

7. 已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在點(diǎn)P，使得

，則AD的取值范圍是（）C
A．

B．

C．

D．

9.若點(diǎn)（4，tanθ）在函數(shù)y=log2x的圖像上，則2cos2θ= A
A.

10. 已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=

，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 D
A．

B．（﹣2，1） C．

D．

11．若曲線y=

與曲線y=alnx在它們的公共點(diǎn)P（s，t）處具有公共切線，則實(shí)數(shù)a= C
A．﹣2 B．

C． 1 D． 2
12. 已知橢圓

（a＞b＞0）的半焦距為c（c＞0），左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，拋物線

與橢圓交于B、C兩點(diǎn)，若四邊形ABFC是菱形，則橢圓的離心率是 D
A．

B．

C．

D．

    第Ⅱ卷
    本卷包括必考題和選考題兩部分，第（13）題~第（21）題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答，第（22）題~第（24）題為選考題，考試根據(jù)要求做答。
    填空題：本大題共4小題，每小題5分.
    13. 在（1+x）6（1+y）4的展開(kāi)式中，xy2項(xiàng)的系數(shù)是 . 36
    14. 已知函數(shù)

，則f（2016）= 0
15. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（4，0），Q（0，4），M，N分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以MN為直徑的圓C與直線PQ相切，當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，在四邊形MPQN內(nèi)任取一點(diǎn)，則這點(diǎn)落在圓C內(nèi)的概率是 .

．
16. 在△ABC中，若 (sinA+sinB):(sinA+sinC):(sinB+sinC)=4:5:6 , 且該三角形的面積為

，則△ABC的邊長(zhǎng)等于 14 .
    三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程和演算步驟
    17．（本小題滿(mǎn)分12分）
    已知數(shù)列

滿(mǎn)足

，

，令

.
（Ⅰ）求數(shù)列

的通項(xiàng)公式；
（II）求數(shù)列

的前

項(xiàng)和

.
解：(Ⅰ)

，

，即

，

．………6分
（II）

，

----（1）

----（2）
（1）—（2）得：

18．(本小題滿(mǎn)分12分)某電子廣告牌連續(xù)播出四個(gè)廣告，假設(shè)每個(gè)廣告所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，以往播出100次所需的時(shí)間(t)的情況如下：

類(lèi)別	1號(hào)廣告	2號(hào)廣告	3號(hào)廣告	4號(hào)廣告
廣告次數(shù)	20	30	40	10
時(shí)間t（分鐘／人）	2	3	4	6

    每次隨機(jī)播出，若將頻率視為概率．
    (Ⅰ)求恰好在第6分鐘后開(kāi)始播出第3號(hào)廣告的概率；
    （II）用X表示至第4分鐘末已完整播出廣告的次數(shù)，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望.
    解：(Ⅰ)由條件知

.
（II）

	0	1	2

19．（本小題滿(mǎn)分12分）

在四棱錐

中，底面

為直角梯形，

，

側(cè)面

底面

，

（I）若

中點(diǎn)為．求證：

；
（II）若，求直線

與平面

所成角的正弦值．
（I）證明：取

的中點(diǎn)，連結(jié)

，

，且

，所以

為平行四邊形．

，且

不在平面

內(nèi)，

在平面

內(nèi)，
所以

（II）
直線

與平面

所成角

的正弦值

．
    20．（本小題滿(mǎn)分12分）
    定義：若兩個(gè)橢圓的離心率相等，則稱(chēng)兩個(gè)橢圓是“相似”的．如圖，橢圓C1與橢圓C2是相似的兩個(gè)橢圓，
    并且相交于上下兩個(gè)頂點(diǎn)．橢圓C1：

的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，橢圓C2：

短軸長(zhǎng)是1，點(diǎn)F1， F2分別是橢圓C1的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn)，
    （Ⅰ）求橢圓C1，C2的方程；
    （Ⅱ）過(guò)F1的直線交橢圓C2于點(diǎn)M，N，求△F2MN面積的值．

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C1的半焦距為c，橢圓C2的半焦距為c'．由已知a=2，b=m，

．
∵橢圓C1與橢圓C2的離心率相等，即

，
∴

，即

∴

，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，
∴橢圓C1的方程是

，橢圓C2的方程是

；…………5分
（Ⅱ）顯然直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為：

．
聯(lián)立：

，得

，即

，
∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
則

，

，∴

，
△F2MN的高即為點(diǎn)F2到直線

的距離

．
∴△F2MN的面積

，……10分
∵

，
當(dāng)且僅當(dāng)

，即

時(shí)，等號(hào)成立
∴

，即△F2MN的面積的值為

．…………12分
21．（本小題滿(mǎn)分12分）
已知函數(shù)

(Ⅰ)求曲線

在點(diǎn)

處的切線方程；
(Ⅱ)若關(guān)于

的不等式

在

上恒成立，其中

為實(shí)數(shù)，求

的取值范圍.
解：（Ⅰ）求導(dǎo)

，

又

，所以曲線

在
點(diǎn)

處的切線方程為

即

…………4分
(Ⅱ) 設(shè)

即

在

上恒成立，
又

有

恒成立即

處取得極小值，得

…6分
所以

, 從而

（?。┊?dāng)

時(shí)，

在

上單調(diào)遞減，在

上單調(diào)遞增，所以

即

…………8分
（ⅱ）

時(shí)，

在

上單調(diào)遞增，在

單調(diào)遞減，在

上單調(diào)遞增，
則只需

，解得

…………10分
（ⅲ）當(dāng)

時(shí)，，

在

上單調(diào)遞增，

單調(diào)遞減，在

上單調(diào)遞增，
由

知不符合題意，
.綜上，

的取值范圍是

…………12分
    22．（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-1：幾何證明選講
    如圖，已知AB為⊙O的直徑，CE⊥AB于點(diǎn)H，與⊙O交于點(diǎn)C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，
    EF與⊙O切于點(diǎn)F，BF與HD交于點(diǎn)G．
    （Ⅰ）證明：EF=EG；
    （Ⅱ）求GH的長(zhǎng)．

    （Ⅰ）證明：連接 AF、OE、OF，則A，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共圓
    由EF是切線知OF⊥EF，∠BAF=∠EFG
    ∵CE⊥AB于點(diǎn)H，AF⊥BF，
    ∴∠FGE=∠BAF
    ∴∠FGE=∠EFG，
    ∴EF=EG………………5分
    （Ⅱ）解：∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2，
    ∴EF2=OH2+HE2﹣OF2=48，
    ∴EF=EG=4