1.(2015·四川卷)設(shè)數(shù)列{an}(n=1,2,3，…)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an-a1，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列。
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記數(shù)列an(1的前n項(xiàng)和為Tn，求使得|Tn-1|<1 000(1成立的n的最小值。
解 (1)由已知Sn=2an-a1，有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2)，即an=2an-1(n≥2)。
從而a2=2a1，a3=2a2=4a1。
又因?yàn)閍1，a2+1，a3成等差數(shù)列，
即a1+a3=2(a2+1)。
所以a1+4a1=2(2a1+1)，解得a1=2。
所以，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。
故an=2n。
(2)由(1)得an(1=2n(1。
所以Tn=2(1+22(1+…+2n(1=2(1=1-2n(1。
由|Tn-1|<1 000(1，得-1(1<1 000(1，
即2n>1 000。
因?yàn)?9=512<1 000<1 024=210，所以n≥10。
于是，使|Tn-1|<1 000(1成立的n的最小值為10。
2.(2015·山東卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn。已知2Sn=3n+3。
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足anbn=log3an，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn。
解 (1)因?yàn)?Sn=3n+3，所以2a1=3+3，故a1=3，
當(dāng)n>1時(shí)，2Sn-1=3n-1+3，
此時(shí)2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1，即an=3n-1，
又因?yàn)閚=1時(shí)，不滿足上式，所以an=3n-1，n>1。(3，n=1，
(2)因?yàn)閍nbn=log3an，所以b1=3(1，
當(dāng)n>1時(shí)，bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n。
所以T1=b1=3(1;
當(dāng)n>1時(shí)，Tn=b1+b2+b3+…+bn=3(1+(1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n)，
所以3Tn=1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n)，
兩式相減，得2Tn=3(2+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n=3(2+1-3-1(1-31-n-(n-1)×31-n=6(13-2×3n(6n+3，所以Tn=12(13-4×3n(6n+3。經(jīng)檢驗(yàn)，n=1時(shí)也適合。
綜上可得Tn=12(13-4×3n(6n+3。
3.(2015·天津卷)已知數(shù)列{an}滿足an+2=qan(q為實(shí)數(shù)，且q≠1)，n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數(shù)列。
(1)求q的值和{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=a2n-1(log2a2n，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。
解 (1)由已知，有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4)，即a4-a2=a5-a3，
所以a2(q-1)=a3(q-1)。又因?yàn)閝≠1，故a3=a2=2，由a3=a1·q，得q=2。
當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時(shí)，an=a2k-1=2k-1=22(n-1;
當(dāng)n=2k(k∈N*)時(shí)，an=a2k=2k=22(n。
所以，{an}的通項(xiàng)公式為an=，n為偶數(shù)。(n
(2)由(1)得bn=a2n-1(log2a2n=2n-1(n。設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=1×20(1+2×21(1+3×22(1+…+(n-1)×2n-2(1+n×2n-1(1，
2(1Sn=1×21(1+2×22(1+3×23(1+…+(n-1)×2n-1(1+n×2n(1，
上述兩式相減，得2(1Sn=1+2(1+22(1+…+2n-1(1-2n(n=2(1-2n(n=2-2n(2-2n(n，
整理得，Sn=4-2n-1(n+2。
所以，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為4-2n-1(n+2，n∈N*。
4.(2015·合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=x+x(1(x>0)，以點(diǎn)(n，f(n))為切點(diǎn)作函數(shù)圖像的切線ln(n∈N*)，直線x=n+1與函數(shù)y=f(x)圖像及切線ln分別相交于An，Bn，記an=|AnBn|。
(1)求切線ln的方程及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn<1。
解 (1)對(duì)f(x)=x+x(1(x>0)求導(dǎo)，得f′(x)=1-x2(1，
則切線ln的方程為y-n(1=n2(1(x-n)，
即y=n2(1x+n(2。
易知Ann+1(1，Bnn2(n-1，
由an=|AnBn|知an=n2(n-1=n2(n+1)(1。
(2)證明：∵nan=n(n+1)(1=n(1-n+1(1，
∴Sn=a1+2a2+…+nan=1-2(1+2(1-3(1+…+n(1-n+1(1=1-n+1(1<1。
5.已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列。
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=(-1)n-1anan+1(4n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。
解 (1)因?yàn)镾1=a1，S2=2a1+2(2×1×2=2a1+2，
S4=4a1+2(4×3×2=4a1+12，
由題意得(2a1+2)2=a1(4a1+12)，
解得a1=1，所以an=2n-1。
(2)bn=(-1)n-1anan+1(4n=(-1)n-1(2n-1)(2n+1)(4n
=(-1)n-12n+1(1。
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
Tn=3(1-5(1+…+2n-3(1+2n-1(1-2n+1(1=1-2n+1(1=2n+1(2n。
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
Tn=3(1-5(1+…-2n-3(1+2n-1(1+2n+1(1=1+2n+1(1=2n+1(2n+2。
所以Tn=，n為偶數(shù)。(2n或Tn=2n+1(2n+1+(-1)n-1
6.(2015·杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=1-4an(1，其中n∈N*。
(1)設(shè)bn=2an-1(2，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=n+1(4an，數(shù)列{cncn+2}的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得Tn解 (1)∵bn+1-bn=2an+1-1(2-2an-1(2
=-1(1-2an-1(2
=2an-1(4an-2an-1(2=2(常數(shù))，
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列。
∵a1=1，∴b1=2，
因此bn=2+(n-1)×2=2n，
由bn=2an-1(2得an=2n(n+1。
(2)由cn=n+1(4an，an=2n(n+1得cn=n(2，
∴cncn+2=n(n+2)(4=2n+2(1，
∴Tn=21-3(1+2(1-4(1+3(1-5(1+…+n(1-n+2(1
=2n+2(1<3，
依題意要使Tn即4(m(m+1)≥3，
解得m≥3或m≤-4，又m為正整數(shù)，所以m的最小值為3。
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記數(shù)列an(1的前n項(xiàng)和為Tn，求使得|Tn-1|<1 000(1成立的n的最小值。
解 (1)由已知Sn=2an-a1，有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2)，即an=2an-1(n≥2)。
從而a2=2a1，a3=2a2=4a1。
又因?yàn)閍1，a2+1，a3成等差數(shù)列，
即a1+a3=2(a2+1)。
所以a1+4a1=2(2a1+1)，解得a1=2。
所以，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。
故an=2n。
(2)由(1)得an(1=2n(1。
所以Tn=2(1+22(1+…+2n(1=2(1=1-2n(1。
由|Tn-1|<1 000(1，得-1(1<1 000(1，
即2n>1 000。
因?yàn)?9=512<1 000<1 024=210，所以n≥10。
于是，使|Tn-1|<1 000(1成立的n的最小值為10。
2.(2015·山東卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn。已知2Sn=3n+3。
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足anbn=log3an，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn。
解 (1)因?yàn)?Sn=3n+3，所以2a1=3+3，故a1=3，
當(dāng)n>1時(shí)，2Sn-1=3n-1+3，
此時(shí)2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1，即an=3n-1，
又因?yàn)閚=1時(shí)，不滿足上式，所以an=3n-1，n>1。(3，n=1，
(2)因?yàn)閍nbn=log3an，所以b1=3(1，
當(dāng)n>1時(shí)，bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n。
所以T1=b1=3(1;
當(dāng)n>1時(shí)，Tn=b1+b2+b3+…+bn=3(1+(1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n)，
所以3Tn=1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n)，
兩式相減，得2Tn=3(2+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n=3(2+1-3-1(1-31-n-(n-1)×31-n=6(13-2×3n(6n+3，所以Tn=12(13-4×3n(6n+3。經(jīng)檢驗(yàn)，n=1時(shí)也適合。
綜上可得Tn=12(13-4×3n(6n+3。
3.(2015·天津卷)已知數(shù)列{an}滿足an+2=qan(q為實(shí)數(shù)，且q≠1)，n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差數(shù)列。
(1)求q的值和{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=a2n-1(log2a2n，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。
解 (1)由已知，有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4)，即a4-a2=a5-a3，
所以a2(q-1)=a3(q-1)。又因?yàn)閝≠1，故a3=a2=2，由a3=a1·q，得q=2。
當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時(shí)，an=a2k-1=2k-1=22(n-1;
當(dāng)n=2k(k∈N*)時(shí)，an=a2k=2k=22(n。
所以，{an}的通項(xiàng)公式為an=，n為偶數(shù)。(n
(2)由(1)得bn=a2n-1(log2a2n=2n-1(n。設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn=1×20(1+2×21(1+3×22(1+…+(n-1)×2n-2(1+n×2n-1(1，
2(1Sn=1×21(1+2×22(1+3×23(1+…+(n-1)×2n-1(1+n×2n(1，
上述兩式相減，得2(1Sn=1+2(1+22(1+…+2n-1(1-2n(n=2(1-2n(n=2-2n(2-2n(n，
整理得，Sn=4-2n-1(n+2。
所以，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為4-2n-1(n+2，n∈N*。
4.(2015·合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=x+x(1(x>0)，以點(diǎn)(n，f(n))為切點(diǎn)作函數(shù)圖像的切線ln(n∈N*)，直線x=n+1與函數(shù)y=f(x)圖像及切線ln分別相交于An，Bn，記an=|AnBn|。
(1)求切線ln的方程及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn<1。
解 (1)對(duì)f(x)=x+x(1(x>0)求導(dǎo)，得f′(x)=1-x2(1，
則切線ln的方程為y-n(1=n2(1(x-n)，
即y=n2(1x+n(2。
易知Ann+1(1，Bnn2(n-1，
由an=|AnBn|知an=n2(n-1=n2(n+1)(1。
(2)證明：∵nan=n(n+1)(1=n(1-n+1(1，
∴Sn=a1+2a2+…+nan=1-2(1+2(1-3(1+…+n(1-n+1(1=1-n+1(1<1。
5.已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列。
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=(-1)n-1anan+1(4n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。
解 (1)因?yàn)镾1=a1，S2=2a1+2(2×1×2=2a1+2，
S4=4a1+2(4×3×2=4a1+12，
由題意得(2a1+2)2=a1(4a1+12)，
解得a1=1，所以an=2n-1。
(2)bn=(-1)n-1anan+1(4n=(-1)n-1(2n-1)(2n+1)(4n
=(-1)n-12n+1(1。
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
Tn=3(1-5(1+…+2n-3(1+2n-1(1-2n+1(1=1-2n+1(1=2n+1(2n。
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
Tn=3(1-5(1+…-2n-3(1+2n-1(1+2n+1(1=1+2n+1(1=2n+1(2n+2。
所以Tn=，n為偶數(shù)。(2n或Tn=2n+1(2n+1+(-1)n-1
6.(2015·杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=1-4an(1，其中n∈N*。
(1)設(shè)bn=2an-1(2，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=n+1(4an，數(shù)列{cncn+2}的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得Tn解 (1)∵bn+1-bn=2an+1-1(2-2an-1(2
=-1(1-2an-1(2
=2an-1(4an-2an-1(2=2(常數(shù))，
∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列。
∵a1=1，∴b1=2，
因此bn=2+(n-1)×2=2n，
由bn=2an-1(2得an=2n(n+1。
(2)由cn=n+1(4an，an=2n(n+1得cn=n(2，
∴cncn+2=n(n+2)(4=2n+2(1，
∴Tn=21-3(1+2(1-4(1+3(1-5(1+…+n(1-n+2(1
=2n+2(1<3，
依題意要使Tn即4(m(m+1)≥3，
解得m≥3或m≤-4，又m為正整數(shù)，所以m的最小值為3。