平行線(xiàn)與相交線(xiàn)
一、互余、互補(bǔ)、對(duì)頂角
1、相加等于90°的兩個(gè)角稱(chēng)這兩個(gè)角互余。 性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等。
2、相加等于180°的兩個(gè)角稱(chēng)這兩個(gè)角互補(bǔ)。 性質(zhì)：同角(或等角)的補(bǔ)角相等。
3、兩條直線(xiàn)相交，有公共頂點(diǎn)但沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角;或者一個(gè)角的反相延長(zhǎng)線(xiàn)與這個(gè)角是對(duì)頂角。 對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。
4、兩條直線(xiàn)相交，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角。 (相鄰且互補(bǔ))
二、三線(xiàn)八角： 兩直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截
①在兩直線(xiàn)的相同位置上，在第三條直線(xiàn)的同側(cè)(旁)的兩個(gè)角叫做同位角。
②在兩直線(xiàn)之間(內(nèi)部)，在第三條直線(xiàn)的兩側(cè)(旁)的兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。
③在兩直線(xiàn)之間(內(nèi)部)，在第三條直線(xiàn)的同側(cè)(旁)的兩個(gè)角叫做同旁?xún)?nèi)角。
三、平行線(xiàn)的判定
①同位角相等
②內(nèi)錯(cuò)角相等 兩直線(xiàn)平行
③同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)
四、平行線(xiàn)的性質(zhì)
①兩直線(xiàn)平行，同位角相等。 ②兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。 ③兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。
五、尺規(guī)作圖(用圓規(guī)和直尺作圖)
①作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段。 ②作一個(gè)角等于已知角。
生活中的軸對(duì)稱(chēng)
一、軸對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)
①一個(gè)圖形沿某一條直線(xiàn)對(duì)折，直線(xiàn)兩旁的部分能完成重合的圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形。這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸。
②兩個(gè)圖形沿某一條直線(xiàn)折疊，這兩個(gè)圖形能完全重合，就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)。這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸。
③常見(jiàn)的軸對(duì)稱(chēng)圖形：線(xiàn)段(兩條對(duì)稱(chēng)軸)，角，長(zhǎng)方形，正方形，等腰三角形，等邊三角形，等腰梯形，圓，扇形
二、角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
∵ ∠1=∠2 PB⊥OB PA⊥OA
∴ PB=PA
三、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)：
①概念：垂直且平分線(xiàn)段的直線(xiàn)叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。
②性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。
∵ OA=OB CD⊥AB
∴ PA=PB
四、等腰三角形性質(zhì)： (有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形)
①等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形; (一條對(duì)稱(chēng)軸)
②等腰三角形底邊上中線(xiàn)，底邊上的高，頂角的平分線(xiàn)重合; (三線(xiàn)合一)
③等腰三角形的兩個(gè)底角相等。 (簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角)
五、在一個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它所對(duì)的兩條邊也相等。(簡(jiǎn)稱(chēng)：等角對(duì)等邊)
六、等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性質(zhì)。
① 等邊三角形的三條邊相等，三個(gè)角都等于60; ②等邊三角形有三條對(duì)稱(chēng)軸。
七、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：
① 關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形; ②對(duì)應(yīng)線(xiàn)段、對(duì)應(yīng)角相等;
② 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)被對(duì)稱(chēng)軸垂直且平分; ④對(duì)應(yīng)線(xiàn)段如果相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上。
八、鏡子改變了什么：
1、物與像關(guān)于鏡面成軸對(duì)稱(chēng);(分清左右對(duì)稱(chēng)與上下對(duì)稱(chēng))
2、常見(jiàn)的問(wèn)題：①物體成像問(wèn)題;②數(shù)字與字母成像問(wèn)題;③時(shí)鐘成像問(wèn)題
三角形
一、認(rèn)識(shí)三角形
1、三角形:由不在同一直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次相接所組成的圖形。
2、三角形三邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊;兩邊之差小于第三邊。
(已知三條線(xiàn)段確定能否組成三角形，已知兩邊求第三邊的取值范圍)
3、三角形的內(nèi)角和是180°;直角三角形的兩銳角互余。
銳角三角形 (三個(gè)角都是銳角)
4、三角形按角分類(lèi)直角三角形 (有一個(gè)角是直角)
鈍角三角形 (有一個(gè)角是鈍角)
5、三角形的特殊線(xiàn)段：
a) 三角形的中線(xiàn)：連結(jié)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線(xiàn)段。 (分成的兩個(gè)三角形面積相等)
b) 三角形的角平分線(xiàn)：內(nèi)角平分線(xiàn)與對(duì)邊的交點(diǎn)到內(nèi)角所在的頂點(diǎn)的線(xiàn)段。
c) 三角形的高：頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線(xiàn)段。 (每一種三角形的作圖)
二、全等三角形：
1、全等三角形：能夠重合的兩個(gè)三角形。
2、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。
3、全等三角形的判定：
判定方法
內(nèi) 容
簡(jiǎn)稱(chēng)
邊邊邊
三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
SSS
邊角邊
兩邊與這兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
SAS
角邊角
兩角與這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
ASA
角角邊
兩角與其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
AAS
斜邊直角邊
斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等
HL
注意：三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不能判定兩個(gè)三角形形全等;AAA
兩條邊與其中一條邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不能判定兩個(gè)三角三角形全等。SSA
4、全等三角形的證明思路：
條 件
下一步的思路
運(yùn)用的判定方法
已經(jīng)兩邊對(duì)應(yīng)相等
找它們的夾角
SAS
找第三邊
SSS
已經(jīng)兩角對(duì)應(yīng)相等
找它們的夾邊
ASA
找其中一個(gè)角的對(duì)邊
AAS
已經(jīng)一角一邊
找另一個(gè)角
ASA或AAS
找另一邊
SAS
5、三角形具有穩(wěn)定性，
三、作三角形
1、已經(jīng)三邊作三角形
2、已經(jīng)兩邊與它們的夾角作三角形
3、已經(jīng)兩角與它們的夾邊作三角形(已經(jīng)兩角與其中一角的對(duì)邊轉(zhuǎn)化成這種情況)
4、已經(jīng)斜邊與一條直角邊作直角三角形
一、互余、互補(bǔ)、對(duì)頂角
1、相加等于90°的兩個(gè)角稱(chēng)這兩個(gè)角互余。 性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等。
2、相加等于180°的兩個(gè)角稱(chēng)這兩個(gè)角互補(bǔ)。 性質(zhì)：同角(或等角)的補(bǔ)角相等。
3、兩條直線(xiàn)相交，有公共頂點(diǎn)但沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角;或者一個(gè)角的反相延長(zhǎng)線(xiàn)與這個(gè)角是對(duì)頂角。 對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。
4、兩條直線(xiàn)相交，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角。 (相鄰且互補(bǔ))
二、三線(xiàn)八角： 兩直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截
①在兩直線(xiàn)的相同位置上，在第三條直線(xiàn)的同側(cè)(旁)的兩個(gè)角叫做同位角。
②在兩直線(xiàn)之間(內(nèi)部)，在第三條直線(xiàn)的兩側(cè)(旁)的兩個(gè)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。
③在兩直線(xiàn)之間(內(nèi)部)，在第三條直線(xiàn)的同側(cè)(旁)的兩個(gè)角叫做同旁?xún)?nèi)角。
三、平行線(xiàn)的判定
①同位角相等
②內(nèi)錯(cuò)角相等 兩直線(xiàn)平行
③同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)
四、平行線(xiàn)的性質(zhì)
①兩直線(xiàn)平行，同位角相等。 ②兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。 ③兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。
五、尺規(guī)作圖(用圓規(guī)和直尺作圖)
①作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段。 ②作一個(gè)角等于已知角。
生活中的軸對(duì)稱(chēng)
一、軸對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)
①一個(gè)圖形沿某一條直線(xiàn)對(duì)折，直線(xiàn)兩旁的部分能完成重合的圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形。這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸。
②兩個(gè)圖形沿某一條直線(xiàn)折疊，這兩個(gè)圖形能完全重合，就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)。這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸。
③常見(jiàn)的軸對(duì)稱(chēng)圖形：線(xiàn)段(兩條對(duì)稱(chēng)軸)，角，長(zhǎng)方形，正方形，等腰三角形，等邊三角形，等腰梯形，圓，扇形
二、角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
∵ ∠1=∠2 PB⊥OB PA⊥OA
∴ PB=PA
三、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)：
①概念：垂直且平分線(xiàn)段的直線(xiàn)叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。
②性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。
∵ OA=OB CD⊥AB
∴ PA=PB
四、等腰三角形性質(zhì)： (有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形)
①等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形; (一條對(duì)稱(chēng)軸)
②等腰三角形底邊上中線(xiàn)，底邊上的高，頂角的平分線(xiàn)重合; (三線(xiàn)合一)
③等腰三角形的兩個(gè)底角相等。 (簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角)
五、在一個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它所對(duì)的兩條邊也相等。(簡(jiǎn)稱(chēng)：等角對(duì)等邊)
六、等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性質(zhì)。
① 等邊三角形的三條邊相等，三個(gè)角都等于60; ②等邊三角形有三條對(duì)稱(chēng)軸。
七、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：
① 關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形; ②對(duì)應(yīng)線(xiàn)段、對(duì)應(yīng)角相等;
② 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)被對(duì)稱(chēng)軸垂直且平分; ④對(duì)應(yīng)線(xiàn)段如果相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上。
八、鏡子改變了什么：
1、物與像關(guān)于鏡面成軸對(duì)稱(chēng);(分清左右對(duì)稱(chēng)與上下對(duì)稱(chēng))
2、常見(jiàn)的問(wèn)題：①物體成像問(wèn)題;②數(shù)字與字母成像問(wèn)題;③時(shí)鐘成像問(wèn)題
三角形
一、認(rèn)識(shí)三角形
1、三角形:由不在同一直線(xiàn)上的三條線(xiàn)段首尾順次相接所組成的圖形。
2、三角形三邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊;兩邊之差小于第三邊。
(已知三條線(xiàn)段確定能否組成三角形，已知兩邊求第三邊的取值范圍)
3、三角形的內(nèi)角和是180°;直角三角形的兩銳角互余。
銳角三角形 (三個(gè)角都是銳角)
4、三角形按角分類(lèi)直角三角形 (有一個(gè)角是直角)
鈍角三角形 (有一個(gè)角是鈍角)
5、三角形的特殊線(xiàn)段：
a) 三角形的中線(xiàn)：連結(jié)頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線(xiàn)段。 (分成的兩個(gè)三角形面積相等)
b) 三角形的角平分線(xiàn)：內(nèi)角平分線(xiàn)與對(duì)邊的交點(diǎn)到內(nèi)角所在的頂點(diǎn)的線(xiàn)段。
c) 三角形的高：頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線(xiàn)段。 (每一種三角形的作圖)
二、全等三角形：
1、全等三角形：能夠重合的兩個(gè)三角形。
2、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。
3、全等三角形的判定：
判定方法
內(nèi) 容
簡(jiǎn)稱(chēng)
邊邊邊
三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
SSS
邊角邊
兩邊與這兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
SAS
角邊角
兩角與這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
ASA
角角邊
兩角與其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
AAS
斜邊直角邊
斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等
HL
注意：三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不能判定兩個(gè)三角形形全等;AAA
兩條邊與其中一條邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不能判定兩個(gè)三角三角形全等。SSA
4、全等三角形的證明思路：
條 件
下一步的思路
運(yùn)用的判定方法
已經(jīng)兩邊對(duì)應(yīng)相等
找它們的夾角
SAS
找第三邊
SSS
已經(jīng)兩角對(duì)應(yīng)相等
找它們的夾邊
ASA
找其中一個(gè)角的對(duì)邊
AAS
已經(jīng)一角一邊
找另一個(gè)角
ASA或AAS
找另一邊
SAS
5、三角形具有穩(wěn)定性，
三、作三角形
1、已經(jīng)三邊作三角形
2、已經(jīng)兩邊與它們的夾角作三角形
3、已經(jīng)兩角與它們的夾邊作三角形(已經(jīng)兩角與其中一角的對(duì)邊轉(zhuǎn)化成這種情況)
4、已經(jīng)斜邊與一條直角邊作直角三角形