(三) 數(shù)據(jù)分析
在[例2.3-1]中考慮了三個三水平因子，其所有不同的試驗條件共有27個，現(xiàn)在僅做了其中的9個。試驗的目的是想找出哪些因子對指標是有明顯影響的，各個因子的什么樣的水平組合可以使指標達到。這可以利用正交表的特點進行數(shù)據(jù)分析。仍然結(jié)合[例2.3-1]進行敘述.
1. 數(shù)據(jù)的直觀分析
(1)尋找的試驗條件
由以上可知， 之間的差異只反映了A的三個水平間的差異，因為這三組試驗條件除了因子A的水平有差異外，因子B與C的條件是一致的，所以可以通過比較這三個平均值的大小看出因子A的水平的好壞。從這三個數(shù)據(jù)可知因子A的二水平，因為其指標均值。這種比較方法稱為“綜合比較”。以上計算都列在表2.3-4的下方。
同理可看第二列與第三列，按其中的1，2，3分別將數(shù)據(jù)分為三組，計算各自的數(shù)據(jù)和與平均，它們也都列在表2.3-4的下方。由此可知，因子B取二水平好，因子C取三水平好。
綜上可知使指標達到的條件是，即充磁量取1100×10-4特，定位角度取11度，定子線圈取90匝可以使輸出力矩達到。
(2) 各因子對指標影響程度大小的分析
這可從各個因子試驗結(jié)果的極差來看，這里指的一個因子的極差是該因子不同水平對應(yīng)的試驗結(jié)果均值的值與最小值的差，因為該值大的話，則改變這一因子的水平會對指標造成較大的變化，所以該因子對指標的影響大，反之，影響就小。
在本例中因子A的極差為：
對因子B、C可同樣計算，它們被置于表2.3-4的最下面一行。從三個因子的極差可知因子B的影響，其次是因子A，而因子C的影響最小。
(3) 各因子不同水平對指標的影響圖
為直觀起見，可以將每個因子不同水平下試驗結(jié)果的均值畫成一張圖，[例2.3-1]的圖見圖2.3-2，從圖上可以明顯看出每一因子的水平A2，B2，C3，也可以看出各個因子對指標影響的大小，RB>RA>RC。
2.數(shù)據(jù)的方差分析
在數(shù)據(jù)的直觀分析中是通過極差的大小來評價各個因子對指標影響的大小，那么極差要小到什么程度可以認為該因子水平變化對指標值已經(jīng)沒有顯著的差別了呢?為回答這一問題，需要對數(shù)據(jù)進行方差分析。
在方差分析中，我們假定每一試驗是獨立進行的，每一試驗條件下的試驗指標服從正態(tài)分布，這些分布的均值與試驗的條件有關(guān)，可能不等，但它們的方差是相等的。 .
(1) 平方和分解
為進行方差分析，從試驗結(jié)果出發(fā)。由于試驗條件的不同與試驗中存在誤差，因此各試驗結(jié)果不同，我們可以用總(離差)平方和ST去描述數(shù)據(jù)的總波動：
(2.3-2)
其中n是試驗次數(shù)， 是試驗結(jié)果的總平均，若記 ，則 =T/n。
造成數(shù)據(jù)波動的原因可能是因子所取水平的不同，也可能是試驗誤差，當然也可能兩者都有。為此要把由各個原因造成的波動分別用數(shù)量來表示。
先來看由于因子A的水平不同所引起的數(shù)據(jù)波動的度量。仍用 表示其三個水平下的試驗結(jié)果的平均，用 表示實驗結(jié)果的總平均。我們考慮 與 的(離差)平方和，記為 ：
(2.3-3)
這里乘以3是因為每一水平重復(fù)進行了三次試驗。 除了誤差外只反映因子A的水平間的差異，即由于因子A的水平不同所引起的試驗結(jié)果的波動，因此稱其為因子A的(離差)平方和。由于這里的 是第1列的3個數(shù)字分別對應(yīng)的試驗結(jié)果的平均值，因此(2.3-3)式也可以看成是第1列的平方和，記為 。因為因子A置于第1列，故 。
同理可以計算其他各列的平方和。
由于因子B、C分別置于第2、3列，故有 。
第四列上沒有置因子，稱為空白列。 僅僅反映了由誤差造成的數(shù)據(jù)波動，稱它為誤差平方和，記為 ，即：
用代數(shù)方法可以證明，在 中總平方和與各列平方和間有如下關(guān)系：
ST=Sl+S2+S3+S4
對一般的正交表來講，只要其行數(shù)n、列數(shù)p與水平數(shù)q滿足(2.3-1)式，則有：
(2.3—4)
稱(2.3-4)為平方和的分解式。
(2) F比
與方差分析類似，稱(離差)平方和與自由度的比為均方，用因子的均方與誤差的均方進行比較，當 時，認為在顯著性水平 上因子是顯著的，其中 , 分別是因子的均方與自由度， 分別是誤差的均方與自由度。
為此需要給出因子與誤差的自由度。同方差分析中所述，一個因子的自由度是其水平數(shù)-1，在正交設(shè)計中，因子是置于正交表的列上，為敘述方便，也稱正交表一列的自由度為其水平數(shù)-1，即 ，因子的自由度與所在列的自由度應(yīng)該相等。而誤差平方和為正交表上空白列的平方和相加而得，其自由度為正交表上空白列的自由度相加?？偲椒胶偷淖杂啥仁窃囼灤螖?shù)-1，即n-1。當正交表中行數(shù)n、列數(shù)p與水平數(shù)q滿足(2.3-1)式時，對平方和有關(guān)系式(2.3-4)，同樣對自由度也有相應(yīng)關(guān)系式：
這里 ，也稱它為正交表的自由度， 是第j列的自由度。
(3) 計算
通常也用列表的方法計算各列平方和(見表2.3-5)。
通過代數(shù)運算，可以用下式計算一列平方和與總平方和：
由于FA大于F0.90(2，2)=9.0，F(xiàn)B大于F0.95(2，2)=19.0，因此因子A與B分別在顯著性水平0.10與0.05上是顯著的，而因子C不顯著。
(4) 條件的選擇
對顯著因子應(yīng)該選擇其的水平，因為其水平變化會造成指標的顯著不同，而對不顯著因子可以任意選擇水平，實際中?？筛鶕?jù)降低成本、操作方便等來考慮其水平的選擇。
在〖例2.3-1〗中因子A與B是顯著的，所以要選擇其的水平，按前所述，應(yīng)取 ;對因子C可以選任意水平，比如為了節(jié)約材料可選 。將此條件記為 或 ，由于C不顯著，故可不寫，若寫的話，無下標，表示可根據(jù)節(jié)省時間、節(jié)約消耗等實際情況取三個水平中某一個。
3. 因子的貢獻率分析
當試驗指標不服從正態(tài)分布時，進行方差分析的依據(jù)就不夠充足，此時可以通過比較各因子的“貢獻率”來衡量因子作用的大小。
由于S因中除了因子的效應(yīng)外，還包含誤差，從而稱 為因子的純(離差)平方和，稱因子的純平方和與 的比為因子的貢獻率。而稱 為誤差的貢獻率。在[例2.3-1] 中因子與誤差的貢獻率如表2.3-7所示。
從表中可知，因子B最重要，它的水平變化引起的數(shù)據(jù)波動在總平方和中占了72.80%，其次是因子A，而因子C的水平變化引起的數(shù)據(jù)波動還不及誤差引起的數(shù)據(jù)波動的貢獻率大，所以因子C可以認為不重要。
(四) 驗證試驗
在[例2.3-1]中找到的條件是 ，即試驗中的第5號試驗，其試驗結(jié)果確為9次試驗中指標的。但在實際問題中分析所得的條件不一定在試驗中出現(xiàn)，為此通常需要進行驗證試驗，比如選擇條件 ，該條件就不在所進行的9次試驗中，它是否真的符合要求?所以在實際中驗證試驗是不可少的，即使分析所得的條件在試驗中出現(xiàn)，也需要通過驗證試驗看其是否穩(wěn)定。
例如在[例2.3-1]中對條件 進行了三次試驗，結(jié)果分別為：233，240，220，其平均值為231看來該條件是滿意的。
請同學們多看例題，加強概念的理解。
下一講給出整個第二章的練習題。
在[例2.3-1]中考慮了三個三水平因子，其所有不同的試驗條件共有27個，現(xiàn)在僅做了其中的9個。試驗的目的是想找出哪些因子對指標是有明顯影響的，各個因子的什么樣的水平組合可以使指標達到。這可以利用正交表的特點進行數(shù)據(jù)分析。仍然結(jié)合[例2.3-1]進行敘述.
1. 數(shù)據(jù)的直觀分析
(1)尋找的試驗條件
由以上可知， 之間的差異只反映了A的三個水平間的差異，因為這三組試驗條件除了因子A的水平有差異外，因子B與C的條件是一致的，所以可以通過比較這三個平均值的大小看出因子A的水平的好壞。從這三個數(shù)據(jù)可知因子A的二水平，因為其指標均值。這種比較方法稱為“綜合比較”。以上計算都列在表2.3-4的下方。
同理可看第二列與第三列，按其中的1，2，3分別將數(shù)據(jù)分為三組，計算各自的數(shù)據(jù)和與平均，它們也都列在表2.3-4的下方。由此可知，因子B取二水平好，因子C取三水平好。
綜上可知使指標達到的條件是，即充磁量取1100×10-4特，定位角度取11度，定子線圈取90匝可以使輸出力矩達到。
(2) 各因子對指標影響程度大小的分析
這可從各個因子試驗結(jié)果的極差來看，這里指的一個因子的極差是該因子不同水平對應(yīng)的試驗結(jié)果均值的值與最小值的差，因為該值大的話，則改變這一因子的水平會對指標造成較大的變化，所以該因子對指標的影響大，反之，影響就小。
在本例中因子A的極差為：
對因子B、C可同樣計算，它們被置于表2.3-4的最下面一行。從三個因子的極差可知因子B的影響，其次是因子A，而因子C的影響最小。
(3) 各因子不同水平對指標的影響圖
為直觀起見，可以將每個因子不同水平下試驗結(jié)果的均值畫成一張圖，[例2.3-1]的圖見圖2.3-2，從圖上可以明顯看出每一因子的水平A2，B2，C3，也可以看出各個因子對指標影響的大小，RB>RA>RC。
2.數(shù)據(jù)的方差分析
在數(shù)據(jù)的直觀分析中是通過極差的大小來評價各個因子對指標影響的大小，那么極差要小到什么程度可以認為該因子水平變化對指標值已經(jīng)沒有顯著的差別了呢?為回答這一問題，需要對數(shù)據(jù)進行方差分析。
在方差分析中，我們假定每一試驗是獨立進行的，每一試驗條件下的試驗指標服從正態(tài)分布，這些分布的均值與試驗的條件有關(guān)，可能不等，但它們的方差是相等的。 .
(1) 平方和分解
為進行方差分析，從試驗結(jié)果出發(fā)。由于試驗條件的不同與試驗中存在誤差，因此各試驗結(jié)果不同，我們可以用總(離差)平方和ST去描述數(shù)據(jù)的總波動：
(2.3-2)
其中n是試驗次數(shù)， 是試驗結(jié)果的總平均，若記 ，則 =T/n。
造成數(shù)據(jù)波動的原因可能是因子所取水平的不同，也可能是試驗誤差，當然也可能兩者都有。為此要把由各個原因造成的波動分別用數(shù)量來表示。
先來看由于因子A的水平不同所引起的數(shù)據(jù)波動的度量。仍用 表示其三個水平下的試驗結(jié)果的平均，用 表示實驗結(jié)果的總平均。我們考慮 與 的(離差)平方和，記為 ：
(2.3-3)
這里乘以3是因為每一水平重復(fù)進行了三次試驗。 除了誤差外只反映因子A的水平間的差異，即由于因子A的水平不同所引起的試驗結(jié)果的波動，因此稱其為因子A的(離差)平方和。由于這里的 是第1列的3個數(shù)字分別對應(yīng)的試驗結(jié)果的平均值，因此(2.3-3)式也可以看成是第1列的平方和，記為 。因為因子A置于第1列，故 。
同理可以計算其他各列的平方和。
由于因子B、C分別置于第2、3列，故有 。
第四列上沒有置因子，稱為空白列。 僅僅反映了由誤差造成的數(shù)據(jù)波動，稱它為誤差平方和，記為 ，即：
用代數(shù)方法可以證明，在 中總平方和與各列平方和間有如下關(guān)系：
ST=Sl+S2+S3+S4
對一般的正交表來講，只要其行數(shù)n、列數(shù)p與水平數(shù)q滿足(2.3-1)式，則有：
(2.3—4)
稱(2.3-4)為平方和的分解式。
(2) F比
與方差分析類似，稱(離差)平方和與自由度的比為均方，用因子的均方與誤差的均方進行比較，當 時，認為在顯著性水平 上因子是顯著的，其中 , 分別是因子的均方與自由度， 分別是誤差的均方與自由度。
為此需要給出因子與誤差的自由度。同方差分析中所述，一個因子的自由度是其水平數(shù)-1，在正交設(shè)計中，因子是置于正交表的列上，為敘述方便，也稱正交表一列的自由度為其水平數(shù)-1，即 ，因子的自由度與所在列的自由度應(yīng)該相等。而誤差平方和為正交表上空白列的平方和相加而得，其自由度為正交表上空白列的自由度相加?？偲椒胶偷淖杂啥仁窃囼灤螖?shù)-1，即n-1。當正交表中行數(shù)n、列數(shù)p與水平數(shù)q滿足(2.3-1)式時，對平方和有關(guān)系式(2.3-4)，同樣對自由度也有相應(yīng)關(guān)系式：
這里 ，也稱它為正交表的自由度， 是第j列的自由度。
(3) 計算
通常也用列表的方法計算各列平方和(見表2.3-5)。
通過代數(shù)運算，可以用下式計算一列平方和與總平方和：
由于FA大于F0.90(2，2)=9.0，F(xiàn)B大于F0.95(2，2)=19.0，因此因子A與B分別在顯著性水平0.10與0.05上是顯著的，而因子C不顯著。
(4) 條件的選擇
對顯著因子應(yīng)該選擇其的水平，因為其水平變化會造成指標的顯著不同，而對不顯著因子可以任意選擇水平，實際中?？筛鶕?jù)降低成本、操作方便等來考慮其水平的選擇。
在〖例2.3-1〗中因子A與B是顯著的，所以要選擇其的水平，按前所述，應(yīng)取 ;對因子C可以選任意水平，比如為了節(jié)約材料可選 。將此條件記為 或 ，由于C不顯著，故可不寫，若寫的話，無下標，表示可根據(jù)節(jié)省時間、節(jié)約消耗等實際情況取三個水平中某一個。
3. 因子的貢獻率分析
當試驗指標不服從正態(tài)分布時，進行方差分析的依據(jù)就不夠充足，此時可以通過比較各因子的“貢獻率”來衡量因子作用的大小。
由于S因中除了因子的效應(yīng)外，還包含誤差，從而稱 為因子的純(離差)平方和，稱因子的純平方和與 的比為因子的貢獻率。而稱 為誤差的貢獻率。在[例2.3-1] 中因子與誤差的貢獻率如表2.3-7所示。
從表中可知，因子B最重要，它的水平變化引起的數(shù)據(jù)波動在總平方和中占了72.80%，其次是因子A，而因子C的水平變化引起的數(shù)據(jù)波動還不及誤差引起的數(shù)據(jù)波動的貢獻率大，所以因子C可以認為不重要。
(四) 驗證試驗
在[例2.3-1]中找到的條件是 ，即試驗中的第5號試驗，其試驗結(jié)果確為9次試驗中指標的。但在實際問題中分析所得的條件不一定在試驗中出現(xiàn)，為此通常需要進行驗證試驗，比如選擇條件 ，該條件就不在所進行的9次試驗中，它是否真的符合要求?所以在實際中驗證試驗是不可少的，即使分析所得的條件在試驗中出現(xiàn)，也需要通過驗證試驗看其是否穩(wěn)定。
例如在[例2.3-1]中對條件 進行了三次試驗，結(jié)果分別為：233，240，220，其平均值為231看來該條件是滿意的。
請同學們多看例題，加強概念的理解。
下一講給出整個第二章的練習題。