【說(shuō)明】 本試卷滿(mǎn)分100分，考試時(shí)間90分鐘.
一、選擇題（每小題6分，共42分）
1.b2=ac,是a,b,c成等比數(shù)列的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要非充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因當(dāng)b2=ac時(shí)，若a=b=c=0,則a,b,c不成等比數(shù)列；若a,b,c成等比，則 ，即b2=ac.
2.一個(gè)公比q為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，若a1+a2=20,a3+a4=80,則a5+a6等于（ ）
A.120 B.240 C.320 D.480
【答案】C
【解析】∵a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比數(shù)列（公比為q2）.
∴a5+a6= =320.
3.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n+a,要使{an}是等比數(shù)列，則a的值為（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.2
【答案】C
【解析】∵an=
要使{an}成等比，則3+a=2•31-1=2•30=2,即a=-1.
4.設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y∈R,都有f(x)•f(y)=f(x+y),若a1= ,an=f(n)(n∈N*),則數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是（ ）
A.［ ，2) B.［ ，2］
C.［ ，1) D.［ ，1］
【答案】C
【解析】因f(n+1)=f(1)•f(n),則an+1=a1•an= an，
∴數(shù)列{an}是以 為首項(xiàng)，公比為 的等比數(shù)列.
∴an=( )n.
Sn= =1-( )n.
∵n∈N*,∴ ≤Sn＜1.
5.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a2, a3,a1成等差數(shù)列，則 的值是( )
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】∵a3=a2+a1,
∴q2-q-1=0,q= ，或q= (舍).
∴ .
6.(2010北京宣武區(qū)模擬，4)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的兩個(gè)根，則a40•a50•a60的值為( )
A.32 B.64 C.±64 D.256
【答案】B
【解析】因a1•a99=16,故a502=16,a50=4,a40•a50•a60=a503=64.
7.如果P是一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)之積，S是這個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和，S′是這個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)的倒數(shù)和，用S、S′和n表示P，那么P等于( )
A.（S•S′ B.
C.( )n D.
【答案】B
【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公比q（q≠1）
則P=a1•a2•…•an=a1n• ,
S=a1+a2+…+an= ,
S′= +…+ ,
∴ =(a12qn-1 =a1n =P,
當(dāng)q=1時(shí)和成立.
二、填空題（每小題5分，共15分）
8.在等比數(shù)列中，S5=93，a2+a3+a4+a5+a6=186,則a8=___________________.
【答案】384
【解析】易知q≠1，由S5= =93及 =186.
知a1=3,q=2,故a8=a1•q7=3×27=384.
9.(2010湖北八校模擬，13)在數(shù)列{an}中，Sn=a1+a2+…+an,a1=1,an+1= Sn(n≥1),則an=
【答案】( )•（ ）n-2
【解析】∵an+1= Sn,
∴an= Sn-1(n≥2).
①-②得,an+1-an= an,
∴ (n≥2).
∵a2= S1= ×1= ,
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an= •（ ）n-2.
10.給出下列五個(gè)命題，其中不正確的命題的序號(hào)是_______________.
①若a,b,c成等比數(shù)列，則b= ②若a,b,c成等比數(shù)列，則ma,mb,mc(m為常數(shù))也成等比數(shù)列 ③若{an}的通項(xiàng)an=c(b-1)bn-1(bc≠0且b≠1),則{an}是等比數(shù)列 ④若{an}的前n項(xiàng)和Sn=apn(a,p均為非零常數(shù))，則{an}是等比數(shù)列 ⑤若{an}是等比數(shù)列，則an,a2n,a3n也是等比數(shù)列
【答案】②④
【解析】②中m=0,ma,mb,mc不成等比數(shù)列；
④中a1=ap,a2=ap(p-1),a3=ap2(p-1), ,故②④不正確，①③⑤均可用定義法判斷正確.
三、解答題（11—13題每小題10分，14題13分，共43分）
11.等比數(shù)列{an}的公比為q，作數(shù)列{bn}使bn= ,
(1)求證數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列；
（2）已知q＞1,a1= ,問(wèn)n為何值時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn大于數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn′.
(1)證明：∵ =q,
∴ 為常數(shù)，則{bn}是等比數(shù)列.
(2)【解析】Sn=a1+a2+…+an
= ,
Sn′=b1+b2+…+bn
= ,
當(dāng)Sn＞Sn′時(shí)，
.
又q＞1,則q-1＞0,qn-1＞0,
∴ ,即qn＞q7,
∴n＞7,即n＞7(n∈N*)時(shí)，Sn＞Sn′.
12.已知數(shù)列{an}:a1,a2,a3,…,an,…,構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列：a1,(a2-a1),(a3-a2),…,(an-an-1),…此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為 的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；
（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
【解析】(1)由已知得an-an-1=( )n-1(n≥2),a=1,
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
= ［1-( )n］.
(2)Sn=a1+a2+a3+…+an
= - ［ +( )2+…+( )n］
= - ［1-( )n］
= ×( )n.
13.在等比數(shù)列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=20,設(shè)cn=11-log2a2n.
(1)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.
(2)是否存在n∈N*,使得 成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】(1)由已知得
∴an=a1qn-1=2n.
∴cn=11-log2a2n=11-log222n
=11-2n.
Sn=c1+c2+…+cn= =-n2+10n.
(2)假設(shè)存在n∈N*,使得 即 .
∴22n+3×2n-3＜0,解得 .
∵ =1,而2n≥2,
故不存在n∈N*滿(mǎn)足 .
14.(2010湖北黃岡中學(xué)模擬，22) 已知函數(shù)f(x)= ,x∈(0,+∞),數(shù)列{xn}滿(mǎn)足xn+1=f(xn),(n=1,2,…),且x1=1.
(1)設(shè)an=|xn- |,證明：an+1＜an;
(2)設(shè)（1）中的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn＜ .
證明：（1）an+1=|xn+1- |=|f(xn)- |= .
∵xn＞0,
∴an+1＜( -1)|xn- |＜|xn- |=an,
故an+1＜an.
(2)由（1）的證明過(guò)程可知
an+1＜( -1)|xn- |
＜( -1)2|xn-1- |
＜…＜( -1)n|x1- |=( -1)n+1
∴Sn=a1+a2+…+an＜|x1- |+( -1)2+…+( -1)n
=( -1)+( -1)2+…+( -1)n
= ［1-( -1)n］＜ .
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“教育消費(fèi)占首位”值得警惕
最近，中國(guó)社會(huì)科學(xué)院發(fā)布的《2010年社會(huì)藍(lán)皮書(shū)》顯示，子女教育費(fèi)用在居民總消費(fèi)中排第一位，超過(guò)養(yǎng)老和住房.中國(guó)社科院社會(huì)學(xué)研究所研究員李培林在報(bào)告中認(rèn)為“這并不是很正常的”.
我國(guó)現(xiàn)有的人均GDP只有1 000美元，仍處于發(fā)展中國(guó)家的經(jīng)濟(jì)水平.在此情況下，教育費(fèi)用占民民總消費(fèi)第一位的狀況，必然會(huì)擠占居民養(yǎng)老、住房、醫(yī)療等方面的費(fèi)用開(kāi)支.也就是說(shuō)，教育費(fèi)用居高不下，將直接影響到社會(huì)居民的醫(yī)療、養(yǎng)老等生命質(zhì)量與日常生活水平的起碼問(wèn)題.由于我國(guó)現(xiàn)有老年人口已達(dá)總?cè)丝诘?0%（有的城市已超過(guò)此比例），且還有上升趨勢(shì)，如果現(xiàn)在仍對(duì)教育費(fèi)用居高不下的狀況無(wú)動(dòng)于衷，那么可以預(yù)見(jiàn)，在不久的將來(lái)，社會(huì)必將對(duì)養(yǎng)老、醫(yī)療等社會(huì)問(wèn)題付出巨大代價(jià).還有，從我國(guó)人口文化素質(zhì)與社會(huì)的發(fā)展要求看，現(xiàn)有的教育水平不是高了，而是還需要在大發(fā)展.如果按現(xiàn)有的教育水準(zhǔn)收，勢(shì)必意味著我國(guó)必須為教育付出更多費(fèi)用.
所以筆者覺(jué)得，教育費(fèi)用占居民總消費(fèi)第一位的社會(huì)現(xiàn)象，不僅對(duì)每個(gè)家庭，對(duì)教育自身的健康發(fā)展，同時(shí)對(duì)社會(huì)以后的健康發(fā)展，同時(shí)對(duì)社會(huì)以后的正常發(fā)展，都是一個(gè)亟待重視與解決的社會(huì)公共命題.
一、選擇題（每小題6分，共42分）
1.b2=ac,是a,b,c成等比數(shù)列的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要非充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因當(dāng)b2=ac時(shí)，若a=b=c=0,則a,b,c不成等比數(shù)列；若a,b,c成等比，則 ，即b2=ac.
2.一個(gè)公比q為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，若a1+a2=20,a3+a4=80,則a5+a6等于（ ）
A.120 B.240 C.320 D.480
【答案】C
【解析】∵a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比數(shù)列（公比為q2）.
∴a5+a6= =320.
3.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n+a,要使{an}是等比數(shù)列，則a的值為（ ）
A.0 B.1 C.-1 D.2
【答案】C
【解析】∵an=
要使{an}成等比，則3+a=2•31-1=2•30=2,即a=-1.
4.設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y∈R,都有f(x)•f(y)=f(x+y),若a1= ,an=f(n)(n∈N*),則數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是（ ）
A.［ ，2) B.［ ，2］
C.［ ，1) D.［ ，1］
【答案】C
【解析】因f(n+1)=f(1)•f(n),則an+1=a1•an= an，
∴數(shù)列{an}是以 為首項(xiàng)，公比為 的等比數(shù)列.
∴an=( )n.
Sn= =1-( )n.
∵n∈N*,∴ ≤Sn＜1.
5.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a2, a3,a1成等差數(shù)列，則 的值是( )
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】∵a3=a2+a1,
∴q2-q-1=0,q= ，或q= (舍).
∴ .
6.(2010北京宣武區(qū)模擬，4)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的兩個(gè)根，則a40•a50•a60的值為( )
A.32 B.64 C.±64 D.256
【答案】B
【解析】因a1•a99=16,故a502=16,a50=4,a40•a50•a60=a503=64.
7.如果P是一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)之積，S是這個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和，S′是這個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)的倒數(shù)和，用S、S′和n表示P，那么P等于( )
A.（S•S′ B.
C.( )n D.
【答案】B
【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公比q（q≠1）
則P=a1•a2•…•an=a1n• ,
S=a1+a2+…+an= ,
S′= +…+ ,
∴ =(a12qn-1 =a1n =P,
當(dāng)q=1時(shí)和成立.
二、填空題（每小題5分，共15分）
8.在等比數(shù)列中，S5=93，a2+a3+a4+a5+a6=186,則a8=___________________.
【答案】384
【解析】易知q≠1，由S5= =93及 =186.
知a1=3,q=2,故a8=a1•q7=3×27=384.
9.(2010湖北八校模擬，13)在數(shù)列{an}中，Sn=a1+a2+…+an,a1=1,an+1= Sn(n≥1),則an=
【答案】( )•（ ）n-2
【解析】∵an+1= Sn,
∴an= Sn-1(n≥2).
①-②得,an+1-an= an,
∴ (n≥2).
∵a2= S1= ×1= ,
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an= •（ ）n-2.
10.給出下列五個(gè)命題，其中不正確的命題的序號(hào)是_______________.
①若a,b,c成等比數(shù)列，則b= ②若a,b,c成等比數(shù)列，則ma,mb,mc(m為常數(shù))也成等比數(shù)列 ③若{an}的通項(xiàng)an=c(b-1)bn-1(bc≠0且b≠1),則{an}是等比數(shù)列 ④若{an}的前n項(xiàng)和Sn=apn(a,p均為非零常數(shù))，則{an}是等比數(shù)列 ⑤若{an}是等比數(shù)列，則an,a2n,a3n也是等比數(shù)列
【答案】②④
【解析】②中m=0,ma,mb,mc不成等比數(shù)列；
④中a1=ap,a2=ap(p-1),a3=ap2(p-1), ,故②④不正確，①③⑤均可用定義法判斷正確.
三、解答題（11—13題每小題10分，14題13分，共43分）
11.等比數(shù)列{an}的公比為q，作數(shù)列{bn}使bn= ,
(1)求證數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列；
（2）已知q＞1,a1= ,問(wèn)n為何值時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn大于數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn′.
(1)證明：∵ =q,
∴ 為常數(shù)，則{bn}是等比數(shù)列.
(2)【解析】Sn=a1+a2+…+an
= ,
Sn′=b1+b2+…+bn
= ,
當(dāng)Sn＞Sn′時(shí)，
.
又q＞1,則q-1＞0,qn-1＞0,
∴ ,即qn＞q7,
∴n＞7,即n＞7(n∈N*)時(shí)，Sn＞Sn′.
12.已知數(shù)列{an}:a1,a2,a3,…,an,…,構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列：a1,(a2-a1),(a3-a2),…,(an-an-1),…此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為 的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；
（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
【解析】(1)由已知得an-an-1=( )n-1(n≥2),a=1,
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
= ［1-( )n］.
(2)Sn=a1+a2+a3+…+an
= - ［ +( )2+…+( )n］
= - ［1-( )n］
= ×( )n.
13.在等比數(shù)列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=20,設(shè)cn=11-log2a2n.
(1)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.
(2)是否存在n∈N*,使得 成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】(1)由已知得
∴an=a1qn-1=2n.
∴cn=11-log2a2n=11-log222n
=11-2n.
Sn=c1+c2+…+cn= =-n2+10n.
(2)假設(shè)存在n∈N*,使得 即 .
∴22n+3×2n-3＜0,解得 .
∵ =1,而2n≥2,
故不存在n∈N*滿(mǎn)足 .
14.(2010湖北黃岡中學(xué)模擬，22) 已知函數(shù)f(x)= ,x∈(0,+∞),數(shù)列{xn}滿(mǎn)足xn+1=f(xn),(n=1,2,…),且x1=1.
(1)設(shè)an=|xn- |,證明：an+1＜an;
(2)設(shè)（1）中的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn＜ .
證明：（1）an+1=|xn+1- |=|f(xn)- |= .
∵xn＞0,
∴an+1＜( -1)|xn- |＜|xn- |=an,
故an+1＜an.
(2)由（1）的證明過(guò)程可知
an+1＜( -1)|xn- |
＜( -1)2|xn-1- |
＜…＜( -1)n|x1- |=( -1)n+1
∴Sn=a1+a2+…+an＜|x1- |+( -1)2+…+( -1)n
=( -1)+( -1)2+…+( -1)n
= ［1-( -1)n］＜ .
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“教育消費(fèi)占首位”值得警惕
最近，中國(guó)社會(huì)科學(xué)院發(fā)布的《2010年社會(huì)藍(lán)皮書(shū)》顯示，子女教育費(fèi)用在居民總消費(fèi)中排第一位，超過(guò)養(yǎng)老和住房.中國(guó)社科院社會(huì)學(xué)研究所研究員李培林在報(bào)告中認(rèn)為“這并不是很正常的”.
我國(guó)現(xiàn)有的人均GDP只有1 000美元，仍處于發(fā)展中國(guó)家的經(jīng)濟(jì)水平.在此情況下，教育費(fèi)用占民民總消費(fèi)第一位的狀況，必然會(huì)擠占居民養(yǎng)老、住房、醫(yī)療等方面的費(fèi)用開(kāi)支.也就是說(shuō)，教育費(fèi)用居高不下，將直接影響到社會(huì)居民的醫(yī)療、養(yǎng)老等生命質(zhì)量與日常生活水平的起碼問(wèn)題.由于我國(guó)現(xiàn)有老年人口已達(dá)總?cè)丝诘?0%（有的城市已超過(guò)此比例），且還有上升趨勢(shì)，如果現(xiàn)在仍對(duì)教育費(fèi)用居高不下的狀況無(wú)動(dòng)于衷，那么可以預(yù)見(jiàn)，在不久的將來(lái)，社會(huì)必將對(duì)養(yǎng)老、醫(yī)療等社會(huì)問(wèn)題付出巨大代價(jià).還有，從我國(guó)人口文化素質(zhì)與社會(huì)的發(fā)展要求看，現(xiàn)有的教育水平不是高了，而是還需要在大發(fā)展.如果按現(xiàn)有的教育水準(zhǔn)收，勢(shì)必意味著我國(guó)必須為教育付出更多費(fèi)用.
所以筆者覺(jué)得，教育費(fèi)用占居民總消費(fèi)第一位的社會(huì)現(xiàn)象，不僅對(duì)每個(gè)家庭，對(duì)教育自身的健康發(fā)展，同時(shí)對(duì)社會(huì)以后的健康發(fā)展，同時(shí)對(duì)社會(huì)以后的正常發(fā)展，都是一個(gè)亟待重視與解決的社會(huì)公共命題.