“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及其教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐”初中第五次課題會(huì)議，于2009年11月8日～10日在湖北省荊州市召開．會(huì)議以“平方差公式”為題，由湖北襄樊市襄陽區(qū)城關(guān)一中朱小平老師、江蘇南通市平潮高級(jí)中學(xué)陸志強(qiáng)老師各上了一堂現(xiàn)場研究課；以“用頻率估計(jì)概率”為題，由荊州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)李宜紅老師、廣州市番禺區(qū)星海中學(xué)羅朝紅老師各上了一堂現(xiàn)場研究課．會(huì)前，全體成員按照課題組的要求作了精心準(zhǔn)備，每一位一線教師都提供了教學(xué)設(shè)計(jì)，承擔(dān)研究課的地區(qū)都組織了多次專門的教研活動(dòng)，經(jīng)歷了“教學(xué)設(shè)計(jì)—試教—討論—再設(shè)計(jì)”的過程．因此，提供給大會(huì)的是各地區(qū)的集體研究成果．研究課后，課題組成員對(duì)這幾堂課進(jìn)行了實(shí)事求是的點(diǎn)評(píng)，全體成員暢所欲言，坦誠地發(fā)表自己的意見和建議，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)的成敗得失進(jìn)行了客觀的分析．這幾節(jié)課和點(diǎn)評(píng)，特別是對(duì)教學(xué)內(nèi)容的解析和教學(xué)處理的點(diǎn)評(píng)，對(duì)與會(huì)成員和現(xiàn)場觀摩的教師都具有較大的啟發(fā)和借鑒作用．會(huì)后，課題組絕大部分成員進(jìn)行了深入的反思．現(xiàn)將本次會(huì)議會(huì)上討論和會(huì)后反思的成果整理出來，以供研究和討論．
“核心概念”是本課題研究的重點(diǎn)內(nèi)容，我們課題組教學(xué)設(shè)計(jì)框架中第一條就是“內(nèi)容和內(nèi)容解析”，是要在揭示概念內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，說明概念的核心之所在，并要對(duì)概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位進(jìn)行分析，其中隱含的思想方法要作出明確表述．在此基礎(chǔ)上闡明教學(xué)重點(diǎn)．這也就是要求我們首先要理解數(shù)學(xué)．理解數(shù)學(xué)就是要了解數(shù)學(xué)概念的背景，掌握概念的邏輯意義，理解內(nèi)容所反映的思想方法，把握概念的多元聯(lián)系表示，挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性精神等價(jià)值觀資源．
1．理解教學(xué)內(nèi)容，弄清“是什么”
本次會(huì)議的“用頻率估計(jì)概率”的研究課的內(nèi)容是很有代表性的．“統(tǒng)計(jì)與概率”是本次課改的新增內(nèi)容，也是老師們所不熟悉的內(nèi)容，教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解和把握相對(duì)“代數(shù)”“幾何”要差一些，教師講課的底氣明顯不足，甚至有一些科學(xué)性錯(cuò)誤，參加研討的一線教師也大部分不敢發(fā)言，惟恐自己說錯(cuò)．北京市東城區(qū)教研員雷曉莉，吳曉燕老師在會(huì)議結(jié)束后，針對(duì)課堂上出現(xiàn)的問題也調(diào)查了一些初中數(shù)學(xué)教師，得出的結(jié)論是大家對(duì)“用頻率來估計(jì)概率”的教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)理解有欠缺，需要“提高概率統(tǒng)計(jì)的專業(yè)素養(yǎng)”．
對(duì)于用頻率估計(jì)概率，人教版教科書的相關(guān)描述為“一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么事件A發(fā)生的概率P(A)=p”．概率的頻率定義，反映了在大量重復(fù)試驗(yàn)的條件下，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值就是概率的性質(zhì)．其中既有頻率的隨機(jī)性（每人每次試驗(yàn)都是變化的），也有頻率的規(guī)律性（也就是穩(wěn)定性）．對(duì)于這個(gè)定義的內(nèi)涵，北師大張淑梅老師，人教社張、王嶸老師，北京雷曉莉、吳曉燕老師在他們的反思文章都有闡述．在教學(xué)中，要特別注意避免以下理解：
（1）“頻率的穩(wěn)定值就是概率的估計(jì)值”．事實(shí)上，頻率的穩(wěn)定值就是概率，但是在很多時(shí)候，我們無法僅從試驗(yàn)中知道頻率的穩(wěn)定值具體是多少．
（2）“隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率就越來越接近于概率”．事實(shí)上，定義中的頻率穩(wěn)定于概率并不是說頻率的極限就是概率，而是頻率依概率收斂于概率．即滿足大數(shù)定律：設(shè)m是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p()，則對(duì)任意的，有．也就是說，只要n充分大，那么頻率估計(jì)概率的誤差就可以如所希望的?。?BR> （3）“用頻率估計(jì)概率，一定要大量重復(fù)試驗(yàn)”．事實(shí)上，頻率總是可以作為概率的估計(jì)的，試驗(yàn)次數(shù)的多少只是影響估計(jì)的精度．在有些實(shí)際問題中，對(duì)估計(jì)精度的要求不同，再加上試驗(yàn)條件的限制（比如破壞性的試驗(yàn)），試驗(yàn)次數(shù)是隨實(shí)際問題而定的．
（4）“必然事件與概率為1等價(jià)，不可能事件與概率為0等價(jià)，隨機(jī)事件的概率大于0而小于1”．這種說法僅是對(duì)于古典概型成立, 隨機(jī)事件的概率是0≤P(A )≤1．必然事件的概率為1, 不可能事件的概率為0，但概率為1 的事件不一定是必然事件,概率為0的事件也不一定是不可能事件．例如向平面內(nèi)投一質(zhì)點(diǎn), 該質(zhì)點(diǎn)落在平面內(nèi)某點(diǎn)A 的概率為0，落在平面內(nèi)除點(diǎn)A 處以外的其他點(diǎn)的概率為1，但它們是隨機(jī)事件．
在日常教學(xué)實(shí)踐中，不能只關(guān)注于研究“怎么教”的問題，認(rèn)為“教什么”的問題教材已經(jīng)給出答案，即教材上的內(nèi)容就是教師所要“教”的內(nèi)容．“要給學(xué)生一杯水，老師需要有一桶水”．為了提高對(duì)數(shù)學(xué)的理解水平，我們應(yīng)注意開闊視野，要從教科書、教參、教輔等局限中跳出來，擴(kuò)展到更高層次，在高觀點(diǎn)指導(dǎo)下理解中學(xué)數(shù)學(xué)．例如，為了更好地理解概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容，應(yīng)閱讀一些大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)教材；為了提高自己的教學(xué)反思水平，應(yīng)閱讀一些數(shù)學(xué)教育、教學(xué)、心理方面的理論著作；等．
2．理解教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，在概念體系中認(rèn)識(shí)核心概念
在對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，我們的認(rèn)識(shí)經(jīng)常是“就事論事”，僅僅考慮到這一“點(diǎn)”知識(shí)．這種對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)有一定局限性，可能會(huì)“見木不見林”．對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)，要把知識(shí)體系當(dāng)成核心，圍繞知識(shí)體系開展教學(xué)．核心概念的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該考慮概念的來源是什么？概念的內(nèi)涵是什么？與相關(guān)概念的相互關(guān)系是什么？概念有什么作用？在新的概念引入后，原有的知識(shí)可以作出什么新的解釋？等等．
同樣，在對(duì)教材進(jìn)行分析時(shí)，也要樹立“整體觀”，不僅要分析所教學(xué)內(nèi)容所在節(jié)的教材處理，更要看到這部分內(nèi)容所在章的教材處理，甚至全套教材對(duì)于相關(guān)內(nèi)容的處理，要深入理解教材對(duì)于這部分內(nèi)容及其相關(guān)內(nèi)容的編寫意圖，這對(duì)于我們深入理解教學(xué)內(nèi)容也是有好處的．
例如，對(duì)于“用頻率估計(jì)概率”，人教社王嶸老師和北京市雷曉莉、吳曉燕老師都分析了概率的幾種定義：古典定義、統(tǒng)計(jì)定義和公理化定義，闡述了其各自意義和聯(lián)系．從直觀上講，統(tǒng)計(jì)定義是非常容易接受的，這個(gè)定義也具有普遍意義．但是它的內(nèi)涵是非常深刻的，涉及到大數(shù)定律，在初中階段，我們不可能讓學(xué)生接觸其嚴(yán)格的形式和證明．因此，只能是通過試驗(yàn)獲得，而沒有明確的數(shù)學(xué)化的計(jì)算方法．與學(xué)生以往學(xué)習(xí)確定性數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)相比，概率的值無法確定，學(xué)生會(huì)有存在與不存在的困惑．在概率的古典定義中，“等可能”是其一個(gè)非常重要的條件，它是古典概率思想產(chǎn)生的前提．正是因?yàn)椤暗瓤赡堋?，才?huì)有“比率”．這里，“等可能”雖然無法確切證明，但借助實(shí)際背景，學(xué)生是能夠感知的．例如，學(xué)生很容易理解擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，“呈正面”“呈反面”是等可能的；而擲一枚圖釘，“釘帽著地”“頂針著地”不是等可能的．因此，教材將概率的頻率定義放在了古典定義之后是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的．借助熟悉的古典概型，從頻率角度探討，讓學(xué)生感受到用試驗(yàn)的方法是有效、科學(xué)、合理的，后推廣到任意隨機(jī)試驗(yàn)上，學(xué)生接受起來順理成章．
對(duì)于平方差公式在初中數(shù)學(xué)中的地位和作用，人教社田載今老師、天津市的劉金英老師、大連王冰老師、北京馬岳老師也都進(jìn)行了分析．平方差公式是乘法公式的一種，而乘法公式是在進(jìn)行整式乘法運(yùn)算時(shí)，對(duì)一些特殊情況歸納出的簡化運(yùn)算的特殊形式．多項(xiàng)式的乘法法則是一個(gè)一般性的法則，乘法公式是整式乘法法則的下位，是一般法則形式下特殊形式的特征．因此．乘法公式能為符合公式特征的整式乘法的運(yùn)算帶來方便，也就以為后續(xù)學(xué)習(xí)“用公式法分解因式”“分式的運(yùn)算與化簡”“解一元二次方程”等帶來方便．另外，“平方差公式”是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)的第一個(gè)公式，其研究方法也能為后續(xù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)帶來借鑒作用．因此“平方差公式”的教學(xué)不僅要讓學(xué)生明晰公式的結(jié)構(gòu)特征，也要讓學(xué)生理解乘法公式的地位和作用以及研究這類問題的方法．這樣，在聯(lián)系中看“平方差公式”，也就為它找到了其基本定位
對(duì)于平方差公式，教材是從一些特殊的多項(xiàng)式乘法問題引入的，讓學(xué)生自己去歸納、揭示平方差公式的特征．本次課題會(huì)上，對(duì)于平方差公式中“面積問題”的使用在老師們中間引起了較大爭論．授課教師有的從面積問題引入，有的也在這個(gè)問題上做了很多的文章．通過研討，大家也基本取得了共識(shí)．看待這個(gè)問題還是要回到平方差公式的地位合作用上，乘法公式是整式乘法法則的特例，公式本身的核心在于其結(jié)構(gòu)特征，“面積問題”僅僅是從“形”的角度來說明乘法公式的．因此，“面積問題”不應(yīng)作為教學(xué)重點(diǎn)，平方差公式用面積來切入有難度，應(yīng)該往后放，在得到公式后從幾何的角度解釋平方差公式：一個(gè)長方形的面積等于一個(gè)大正方形的減去一個(gè)小正方形．“文字描述”“符號(hào)概括”“圖形直觀”這三種表達(dá)數(shù)學(xué)概念的基本形式，也是對(duì)“平方差公式”的一個(gè)“真實(shí)”的刻畫．
3．理解教學(xué)內(nèi)容所反映的思想方法，
數(shù)學(xué)思想方法也是我們課題研究的主要內(nèi)容之一．一般地，數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)具體的數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)律方法等的認(rèn)識(shí)過程中提煉概括的基本觀點(diǎn)和根本想法，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)具有普遍的指導(dǎo)意義，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)思想．?dāng)?shù)學(xué)方法是指數(shù)學(xué)活動(dòng)中所采用的途徑、方式、手段、策略等．?dāng)?shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法有很強(qiáng)的聯(lián)系性．通常，在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)思想時(shí)稱數(shù)學(xué)思想，在強(qiáng)調(diào)具體操作過程時(shí)稱數(shù)學(xué)方法．
數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)之中，數(shù)學(xué)概念和原理的形成過程是進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要載體．?dāng)?shù)學(xué)思想方法重在“悟”，需要有一個(gè)循序漸進(jìn)、逐步逼近思想本質(zhì)的過程．?dāng)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)一定要注意“過程性”，“沒有過程就等于沒有思想”，要讓學(xué)生在過程中去逐步體會(huì)和理解．
我們知道，概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科，隨機(jī)的、不確定的思想方法，貫穿于概率教學(xué)的始終．而在“概率的率估定義”的教學(xué)中，除了隨機(jī)性，還有頻率的穩(wěn)定性．“親自試驗(yàn)”獲得的結(jié)果能夠給學(xué)生以真實(shí)感和確切感；“親自試驗(yàn)”的過程就是感受到這種隨機(jī)性和穩(wěn)定性的過程，因此，對(duì)于概率與統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該有更多的主動(dòng)權(quán)和試驗(yàn)權(quán)，在動(dòng)手和動(dòng)腦中感受概率與統(tǒng)計(jì)的思想和方法．
對(duì)于“用頻率估計(jì)概率”的教學(xué)，使學(xué)生了解用頻率估計(jì)概率的必要性和合理性也是這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)之一．對(duì)于這節(jié)課，多數(shù)老師都會(huì)采用“擲硬幣”的試驗(yàn)．“擲硬幣”可以用古典定義求概率，所以概率值是明確的，而通過試驗(yàn)的方法計(jì)算得到的頻率就可以和這個(gè)明確的概率值相比較，如此更容易讓學(xué)生體會(huì)到“頻率具有穩(wěn)定性”這一事實(shí)，從而感受到“用頻率估計(jì)概率”的合理性．但“擲硬幣”或“擲骰子”的隨機(jī)試驗(yàn)只能起到讓學(xué)生直觀感受用頻率估計(jì)概率的合理性的作用，不能讓學(xué)生理解其必要性．對(duì)于“用頻率估計(jì)概率”的必要性，又該如何體現(xiàn)呢？荊州李宜紅老師課堂引入的“姚明罰球命中率”的問題就是一個(gè)很好的載體．該問題既是學(xué)生感興趣的問題，也能說明用頻率估計(jì)概率的必要性，還能通過求命中率引出用頻率估計(jì)概率的方法．姚明罰球的命中率是客觀存在的，如果知道該值的大小對(duì)對(duì)方球員是否有必要犯規(guī)是有幫助的，所以我們要想辦法知道它，概率的統(tǒng)計(jì)定義就給出了這樣一種方法──頻率估計(jì)概率．廣州羅朝紅老師在“擲硬幣”后采用的“擲圖釘”的例子，不能用古典定義求概率，也可以讓學(xué)生感受概率的統(tǒng)計(jì)定義的必要性．
對(duì)于平方差公式的教學(xué)，其內(nèi)容本身并不難，但這是學(xué)生第學(xué)習(xí)公式，學(xué)生不是做不到，而是想不到．要希望學(xué)生能想得到，就要特別注意要讓學(xué)生經(jīng)歷歸納公式的過程，也就是要在教學(xué)中潛移默化的教給學(xué)生一些基本套路．這個(gè)基本套路其實(shí)和概念教學(xué)是類似的，也是要經(jīng)過歸納公式（“舉三反一”，概括其本質(zhì)屬性）──表示公式（文字、符號(hào)語言表示）──辨析公式（明確其結(jié)構(gòu)特征）──應(yīng)用公式（“舉一反三”）等過程，其核心仍是歸納．歸納也是代數(shù)教學(xué)的核心，歸納地想、歸納地發(fā)現(xiàn)規(guī)律作得多了，思想也就體現(xiàn)出來了．
4．把“理解數(shù)學(xué)”體現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂教學(xué)之中
教師“理解數(shù)學(xué)”的目的是讓學(xué)生“理解數(shù)學(xué)”，這也是我們教學(xué)的主要任務(wù)．讓學(xué)生也能“理解數(shù)學(xué)”主要通過課堂教學(xué)來完成，而進(jìn)行課堂教學(xué)的基礎(chǔ)是我們的教學(xué)設(shè)計(jì)．從課題本身來講，我們更應(yīng)重視教學(xué)設(shè)計(jì)，因?yàn)榻虒W(xué)設(shè)計(jì)能較好地解決“理解數(shù)學(xué)”，以及從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程角度構(gòu)建教學(xué)過程、設(shè)計(jì)問題來引導(dǎo)學(xué)習(xí)的問題，是提高課堂教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵．
對(duì)于教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)該在分析概念的核心的基礎(chǔ)上，提出教學(xué)重點(diǎn)；根據(jù)教學(xué)重點(diǎn)和學(xué)生的思維發(fā)展需要，提出現(xiàn)階段要達(dá)成的目標(biāo)；分析達(dá)成目標(biāo)已經(jīng)具備的條件和需要怎樣的新條件，從而做出教學(xué)問題診斷；根據(jù)上述分析進(jìn)行教學(xué)過程設(shè)計(jì)；后是目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)．其中，內(nèi)容和內(nèi)容解析、目標(biāo)和目標(biāo)解析、教學(xué)問題診斷是重中之重．
“概念的核心”就是教學(xué)重點(diǎn)；
對(duì)“了解”“理解”“掌握”等作出具體解析，才能使教學(xué)目標(biāo)對(duì)教學(xué)活動(dòng)發(fā)揮導(dǎo)作用；
教學(xué)難點(diǎn)要以“教學(xué)問題診斷”（包括學(xué)生認(rèn)知分析）為基礎(chǔ)；
教學(xué)過程設(shè)計(jì)應(yīng)貫徹“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”，要利于學(xué)生對(duì)概念及其反映的思想方法的理解，要“跳一跳夠的到”；
目標(biāo)檢測強(qiáng)調(diào)針對(duì)性、有效性．
教學(xué)設(shè)計(jì)是“預(yù)設(shè)”的，課堂教學(xué)是“生成”的，這兩者一定存在落差，這一點(diǎn)人所共知．解決的關(guān)鍵是如何加強(qiáng)教學(xué)設(shè)計(jì)的預(yù)見性，這樣才能實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的有效性，教學(xué)質(zhì)量也才有保證．另外，很多時(shí)候我們的教學(xué)設(shè)計(jì)有預(yù)設(shè)，但課堂教學(xué)不落實(shí)，沒有把教學(xué)重點(diǎn)放在概念的概括、辨析和如何用概念進(jìn)行判斷上，在細(xì)枝末節(jié)、操作程序上追究過多、用時(shí)太長．特別是預(yù)設(shè)的讓學(xué)生歸納概括概念本質(zhì)、思想方法的活動(dòng)，在教學(xué)中大多由老師包辦代替．例如：對(duì)于課堂上的提問，教師提出問題后，往往馬上提示，沒有給學(xué)生留有充分的思考空間；往往就單個(gè)學(xué)生提問，而沒有面向全體學(xué)生；學(xué)生回答正確后，只是問其他同學(xué)對(duì)不對(duì)，對(duì)了就過去了，沒有追問你是怎么想的，從而暴露思維過程，；學(xué)生回答錯(cuò)誤，也僅是簡單地再讓其他學(xué)生給出正確答案，沒有把錯(cuò)誤和正確的思維過程都暴露出來．
以上綜述概括了本次課題組活動(dòng)的一些主要成果．在以往研究的基礎(chǔ)上，本次會(huì)議的研究課有了一定進(jìn)步．對(duì)課題研究的意圖理解逐步深入，大家已逐漸把注意點(diǎn)集中到課題關(guān)注的核心概念、思想方法的教學(xué)上．由于我們的研究水平有限，希望得到廣大教師、廣大數(shù)學(xué)教育工作者的批評(píng)指正．同時(shí)，歡迎對(duì)我們課題有興趣的老師參加到課題研究行列，為我國數(shù)學(xué)課程教材建設(shè)，為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革做出貢獻(xiàn)．